I. Nombres complexes et géométrie

• Si A, B, C et D sont des points d’affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\), \({Z_C}\) et \({Z_D}\) tels que \(A \ne B\) et \(C \ne D\), alors \(\arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right)\) est une mesure de l'angle orienté \(\left( {\widehat {\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\).
Autrement dit : \(mes\left( {\widehat {\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\) \( = \arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right)\) \( + 2k\pi \)

Si A, B, C et D sont des points d’affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\), \({Z_C}\) et \({Z_D}\) tels que \(C \ne D\), alors : \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right|\) \( = \frac{{AB}}{{CD}}\)

II. Configurations du plan et nombres complexes

II.1 Droites parallèles

A, B, C et D sont des points d’affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\), \({Z_C}\) et \({Z_D}\) tels que : \(A \ne B\) et \(C \ne D\),.

Les droites \(\left( {AB} \right)\) et \(\left( {CD} \right)\) sont parallèles si et seulement \(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}} \in \) \( \mathbb{R^*}\)

II.2. Alignements de trois points

A, B et C sont des points tels que \(A \ne B\) et \(B \ne C\) d'affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\) et \({Z_C}\).
Les points distincts A, B, et C sont alignés
Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
\(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = 0 + k\pi \)
Caractérisations complexes
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} \in \) \( \mathbb{R^*}\)

II.3 Droites perpendiculaires

A, B, C et D sont des points d'affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\), \({Z_C}\) et \({Z_D}\) tels que : \(A \ne B\) et \(C \ne D\).

Les droites\(\left( {AB} \right)\) et \(\left( {AB} \right)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}} \in \) \(i \mathbb{R^*}\).

II.4 Points cocycliques (C’est-à-dire des points situés sur un cercle)

A, B, C et D sont des points deux à deux distincts et non alignés d'affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\), \({Z_C}\) et \({Z_D}\).
A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si :

\(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_D} - {Z_A}}}:\) \(\frac{{{Z_C} - {Z_B}}}{{{Z_D} - {Z_B}}} \in \) \( \mathbb{R^*}\)

III Figures géométriques et nombres complexes

A, B et C sont des points non alignés d'affixes respectives \({Z_A}\), \({Z_B}\) et \({Z_C}\).

• Le triangle ABC est isocèle :

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
\(AB = AC\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = \alpha \) avec \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\)
Caractérisations complexes
\(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} = \) \({e^{i\alpha }}\) ou \(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} = \) \({e^{- i\alpha }}\)

• Le triangle ABC est rectangle en A et isocèle

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
\(AB = AC\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = - \frac{\pi }{2}\) ou \(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = \frac{\pi }{2}\)
Caractérisations complexes
\(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = i\) ou \(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = - i\)

• Le triangle ABC est équilatéral  :

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
\(AB = AC\) \( = BC\)
\(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = \) \({e^{i\frac{\pi }{3}}}\) ou \(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = \) \({e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\)
Caractérisations complexes
\(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) \( = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\) ou \(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) \( = {e^{i\frac{\pi }{3}}}\)