Correction exercice I

1. \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_A} \ne {Z_B}\\{Z_B} \ne {Z_C}\end{array} \right.\) donc les points A, B et C sont tels que : \(\left\{ \begin{array}{l}A \ne B\\B \ne C\end{array} \right.\)
\(mes\left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\) \( = \arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right)\)
Calculons \({\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}}\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 - 2}}{{ - 1 - i\sqrt 3 - 2}}\) \( = \frac{1}{2} - \) \(i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Posons \(\arg \left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = \alpha \)
On a \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{1}{2}\\\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \alpha = - \frac{\pi }{3}\)
La mesure principale de l’angle orienté \(\left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\) est \( - \frac{\pi }{3}\).
2. Donnons une interprétation \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\)
On a : \({Z_B} \ne {Z_C}\); ce qui justifie l’existence du \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\)
\(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\) \( = \frac{{AB}}{{BC}}\)
3. \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\) \( = \left| {\frac{{1 - i\sqrt 3 }}{2}} \right|\) \( = 1\) \(1 \Rightarrow AB\) \( = BC\)

Correction exercice II

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(5 + i\); \( - 2\); \(1 + i\) et \( - 4 - 2i\)
1. Traçons les droites (AD) et (BC).
2. Démontrons que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
\({Z_A} \ne {Z_B}\) et \({Z_D} \ne {Z_C}\) alors \(A \ne B\) et \(D \ne C\)
Calculons \(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\)
\(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = \frac{{ - 9 - 3i}}{{3 + i}}\) \( = \frac{{ - 3\left( {3 + i} \right)}}{{3 + i}}\) \( = - 3\) \( \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Ainsi, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Correction exercice III

On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(2 + i\sqrt 3 \); \( - 1\) et \(11 + 4i\sqrt 3 \).
Démontrons que les points A, B et C sont alignés.
En effet, \(A \ne B\) et \(B \ne C\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{{3 + i\sqrt 3 }}{{12 + 4i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{1}{4} \in \) \( \mathbb{R^*}\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Ainsi, les points A, B et C sont alignés.

Correction exercice IV

On considère les points A, B, C et H d’affixes respectives \( - 3 - i\);\( - 2 + 4i\); \(3 - i\) et \( - 2\).
1) Traçons les droites (AH) et (BC).
2) Démontrons que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires
En effet, \(A \ne H\) et \(C \ne B\),
\(\frac{{{Z_B} - {Z_C}}}{{{Z_H} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{10i}}{2}\) \( = 5i\) \( \in \) \(i \mathbb{R^*}\)
Donc les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Correction exercice V

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(−2? \); \(7 – ?\) et \(8 + 2?\) et \(−1 + 5?\).
a) Plaçons les points A, B, C et D dans le repère.
b) Démontrons que les points A, B, C et D sont cocycliques.
\({Z_B} \ne {Z_A}\) et \({Z_B} \ne {Z_D}\)
Calculons \(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) et \(\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}\)
\(\frac{{{Z_D} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} = i\) et \(\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}\) \( = - 3i\)
\(\frac{{\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}}}{{\frac{{{Z_D} - {Z_C}}}{{{Z_B} - {Z_C}}}}}\) \( = \frac{i}{{ - 3i}}\) \( = - \frac{1}{3}\) \( \in \) \( \mathbb{R^*}\)

Donc les points A, B, C et D sont cocycliques.

Correction exercice VI

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B et C d’affixes respectives \(1 + ?\) ; \(3\) et \(3 + 5?\).
a) Plaçons les points A, B et C dans le repère (O, I, J).
ib) Démontrons que le triangle ABC est rectangle en A.
\(A \ne B\) et \(C \ne A\)
\(\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{2 - i}}{{2 + 4i}}\) \( = - \frac{1}{2}i\) \( \in \) \( i\mathbb{R^*}\)
Donc le triangle ABC est rectangle en A
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(−3 + 2?\) ; \(−2 − 3?\) et \(3 − 2?\) Démontrons que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
\(A \ne B\) et \(C \ne B\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = i \in \) \( \mathbb{R^*}\)
Donc le triangle est rectangle isocèle en B.
3. On considère les points A, B et C d’affixes respectives\( - 1 + i\sqrt 3 \); 2 et\( - 1 - i\sqrt 3 \). Démontrons que le triangle ABC est équilatéral.
\(A \ne B\) et \(C \ne B\)
\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \(\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) \( + i\sin \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\)

\(\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} = \) \({e^{ - i\frac{\pi }{3}}}\) donc ABC est un triangle équilatéral.

Correction exercice VII

Soient A, B, C, D quatre points d'affixes respectifs : \( - 1 + i\), \( - 1 - i\), \(2i\) et \(2 - 2i\)
1) Etudions la nature des triangles ABC et BCD.
• Pour le triangle ABC
\(\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}\) \( = \frac{{1 + i}}{{2i}}\) \( = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)\) \( = \arg \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i} \right)\) \( = \frac{{3\pi }}{4}\)
\(AB = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \) \( = 2\sqrt 2 \)
\(AC = \sqrt 2 \)
\(BD = \sqrt {10} \)

Alors le triangle ABC est quelconque.

• Pour le triangle BCD
\(\frac{{{Z_D} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}\) \( = - i\)
\(\arg \left( {\frac{{{Z_D} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right)\) \( = \arg \left( { - i} \right)\) \( = - \frac{\pi }{2}\)
\(BC = \sqrt {10} \)
\(CD = 5\sqrt 2 \)
\(BD = \sqrt {10} \)

Alors le triangle BCD est rectangle et isocèle en B. 

2) Démontrons que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
Soit \(\Omega \left( {x;y} \right)\) les coordonnées du centre de ce cercle. Les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle si :
\(d(A;\Omega ) = \) \(d(B;\Omega ) = \) \(d(C;\Omega ) = \) \(d(D;\Omega ) = r\)
\(d(A;\Omega ) = d(B;\Omega )\)
\(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_A}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_A}} \right)}^2}} \) \( = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_B}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_B}} \right)}^2}} \)
Apres simplification, nous avons
\( - 2y = 2y\) \( \Rightarrow y = 0\)
\(d(C;\Omega ) = d(D;\Omega )\)
\(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_C}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_C}} \right)}^2}} \) \( = \) \(\sqrt {{{\left( {{x_\Omega } - {x_D}} \right)}^2} - {{\left( {{y_\Omega } - {y_D}} \right)}^2}} \)
En remplaçant \(y = 0\) par sa valeur dans l’équation ci-dessus, on a :
\( - 4x + 4 = 0\) \( \Rightarrow x = 1\)
D’où \(\Omega \left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right)\)
\(d(A;\Omega ) = \) \(d(B;\Omega ) = \) \(d(C;\Omega ) = \) \(d(D;\Omega ) = r\)
\(r = \sqrt 5 \)

D’où les points A, B, C et D qui appartiennent à un même cercle de centre \(\Omega \left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right)\) et de rayon \(r = \sqrt 5 \)