Correction exercice I

1. Trouvons l'ensemble \(\left( r \right)\) des points \(\left( M \right)\) du plan d'affixe \(Z\) tel que : \(\left| {Z - 1 + 4i} \right|\) \( = 3\)
\(Z - 1 + 4i\) \( = 0 \Rightarrow Z\) \( = 1 - 4i\) \( \Rightarrow \Omega \left( \begin{array}{l}
1\\ - 4\end{array} \right)\)
L'ensemble chercher est le cercle de centre \(\Omega \left( \begin{array}{l}1\\ - 4
\end{array} \right)\)et de rayon r = 3.
2. Déterminons l'ensemble \(\left( \Gamma \right)\) des points M du plan tel que : \(\left| {Z - 2} \right| = \) \(\left| {Z + 2 + i} \right|\)
Si \(Z - 2 = 0\) \( \Rightarrow Z = 2\) soit \(A\left( \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right)\)
\(Z + 2 + i\) \( = 0 \Rightarrow Z = \) \( - 2 - i\) \( \Rightarrow \)\(B\left( \begin{array}{l} - 2\\
- 1\end{array} \right)\)
L'ensemble chercher est la médiatrice du segment [AB] avec A (2, 0) et B( −2 ; − 1).

Correction exercice II

A.1) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé. On donne le vecteur \(\overrightarrow u \) d’affixe \(1 - 2i\).
 Donnons l'écriture complexe de la translation \(?\) de vecteur \(\overrightarrow u \).
L’écriture complexe de la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow u \) d’affixe \(1 − 2?\) est : \(Z' = Z + \) \(1 - 2i\)
A.2) Détermine les affixes des images respectives \(A'\) et \(B'\) par \(t\) de chacun des points \(A\) et \(B\), d’affixes respectives \(3 – ?\) et 5.
\(Z_A^' = {Z_A} + \) \(1 - 2i = 3\) \( - i + 1 - 2i\) \( = 4 - 3i\)
\(Z_B^' = {Z_B}\) \( + 1 - 2i = 5\) \( + 1 - 2i = \) \(6 - 2i\)
B. L’écriture complexe associée à l’homothétie \(h\) de rapport \(−2\) et de centre \(\Omega \) d'affixe \( 3 – ?\) est :
\(Z' = - 2\) \(\left( {Z - \left( {3 - i} \right)} \right)\) \( + \left( {3 - i} \right)\)
Ainsi : \(Z' = - 2Z + \) \(\left( {9 - 3i} \right)\)
C. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Trouvons l’écriture complexe de la rotation \(r\) de centre d'affixe \(i\sqrt 3 \) et d'angle orienté de \(\frac{\pi }{3}\)
La rotation de centre \(\Omega \) d’affixe \({Z_\Omega }\) et d'angle orienté de mesure principale \(\theta \) a pour écriture complexe : \(Z' = {e^{i\theta }}\) \(\left( {Z - {Z_\Omega }} \right) + {Z_\Omega }\)
Or \({Z_\Omega } = i\sqrt 3 \) et \(\theta = \frac{\pi }{3}\)
\(Z' = {e^{i\frac{\pi }{3}}}\) \(\left( {Z - i\sqrt 3 } \right)\) \( + i\sqrt 3 \)
\({e^{i\frac{\pi }{3}}} = \cos \frac{\pi }{3}\) \( + i\sin \frac{\pi }{3} = \) \(\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(Z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \(\left( {Z - i\sqrt 3 } \right) + \) \(i\sqrt 3 = \) \(\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \) \(\frac{3}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ainsi : \(Z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( + \frac{3}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Correction exercice III

Déterminons la traduction complexe de la transformation f dans chacun des cas suivants :
1) \(f\) est la translation qui transforme A d'affixe \( - 1 + i\) en B d'affixe \( - 2 + 3i\)
La traduction complexe d'une translation est : \(f\left( Z \right) = Z + q\)
\(f(A) = B\) \( \Leftrightarrow f\left( { - 1 + i} \right)\) \( = - 2 + 3i\) \( \Leftrightarrow - 1 + i + q\) \( = - 2 + 3i\)
\(q = - 1 + 2i\)
Soit \(f\left( Z \right) = Z\) \( - 1 + 3i\)
2) \(f\) est l'homothétie de rapport \(\frac{1}{2}\) qui transforme A d'affixe \( - 1 + i\) en B d'affixe \( - 2 + 3i\).
La traduction complexe d'une homothétie est : \(f\left( Z \right) = kZ\) \( + q\)
\(f(A) = B \Leftrightarrow \) \(f\left( { - 1 + i} \right) = \) \(Z - 2 + 3i\) \( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left( { - 1 + i} \right)q\) \( = - 2 + 3i\)
\(q = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}i\)
Ainsi \(f\left( Z \right) = \frac{1}{2}Z\) \( - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}i\)
3) \(f\) est la rotation d'angle \(\frac{{3\pi }}{4}\) qui transforme A d'affixe \( - 1 + i\) en B d'affixe \( - 2 + 3i\).
La traduction complexe d'une rotation est : \(f\left( Z \right) = {e^{i\theta }}Z\) \( + q\)
\(f(A) = B \Leftrightarrow \) \(f( - 1 + i) = \) \( - 2 + i \Leftrightarrow {e^{i\frac{{3\pi }}{4}}}\) \(( - 1 + i) + \) \(q \Rightarrow q = \) \( - 2 + i\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\)

\(f(Z) = {e^{i\frac{{3\pi }}{4}}}\) \(Z - 2 + i\) \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\)