Epreuve de mathématique Concours ENSM 2013

Exercice 3

Soit ln la fonction logarithme népérien. Soit \(a \in \mathbb{R}_ + ^*\)
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
\(\int\limits_1^a {\ln (x)dx} = \) \(a\ln a - a + 1\)
\(f(x) = \) \(a\ln a - a + 1\)
2. Dresser le tableau de variation de f sur \(\mathbb{R}_ + ^*\)
3. Construire la courbe ( C ) de f dans un repère orthonormé.
4. En déduire que pour tout entier naturel k, l’équation \(f(a) = k\) a exactement une solution notée \({a_k}\).
5.a. Calculer \({a_0}\) et \({a_1}\)
5.b. A l’aide des variations de f, montrer que la suite \({({a_k})_{k \in \mathbb{N}}}\) est croissante.
6. Montrer que \(\forall k \in \mathbb{N},\) \(\int\limits_{{a_k}}^{{a_{k + 1}}} {\ln (x)dx = 1} \)
7. En déduire que :
7.a.\(\forall k \in \mathbb{N},\) \(({a_{k + 1}} - {a_k})\) \(\ln ({a_k}) \le 1 \le \) \(({a_{k + 1}} - {a_k})\ln ({a_{k + 1}})\)
7.b. \(\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {u_k} \to + \infty \)