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I Définition

Soit Z un nombre complexe de module 1 et d’argument θ. On appelle formule de Moivre toute écriture de Z se ramenant sous la forme Zn= cos(nθ)+ isin(nθ) avec (nN)

II. Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une méthode très pratique utilisée pour le développement des identités telles que :
(a+b)n
(ab)n
Elle se présente comme suit :

triangle de pascal
triangle de pascal 2

III Application de la formule de Moivre

{Z=cosθ+isinθ¯Z=cosθisinθ {Zn=cosnθ+isinnθ¯Zn=cosnθisinnθ
Soit
{cosnθ=Zn+¯Zn2sinnθ=Zn¯Zn2

ZnׯZn=1

III La linéarisation d’une fonction

La linéarisation d’une fonction est une procédure pour approcher une fonction par une fonction linéaire.
Linéariser par exemple une fonction de la forme cosnθ ou sinnθ, c’est l’écrire comme fonction de cosnθ= f(coskθ) ou sinnθ= f(sinkθ) avec kN pour cela, on utilise soit la formule de Moivre soit la formule d’Euler

III.1 La formule de Moivre

Elle est donnée par :
cosnθ= (Z+¯Z)n2
sinnθ= (Z¯Z)n2

Pour tout Z0, et n Z on a : arg(Zn) =n×arg(Z)
Pour θ R et n Z on a : (cosθ+isinθ)n =cosnθ+isinnθ

III.2 La formule d’Euler

Elle est donnée par :
cosnθ= (eiθ+eiθ)n2
sinnθ= (eiθeiθ)n2

III.3 La formule du binôme de Newton

Soit à développer (x+a)n, on peut utiliser la formule du binôme de Newton qui est la suivante
(x+a)n= C0na0xn+ C1na1xn1+ C2na2xn2+...+ C2na2xn2+...+ Cnnanx0

(a+b)n= nk=0Cknakbnk

Pour Linéariser cosnθ ou sinnθ ; on peut utiliser le procédé suivant, mettant en jeu les formules (d'Euler ou de Moivre) et du (binôme de Newton ou du triangle de Pascal).

Méthode

a) Développer et réduire :
cosnθ= (Z+¯Z)n2
sinnθ= (Z¯Z)n2
Ou
cosnθ= (eiθ+eiθ)n2
sinnθ= (eiθeiθ)n2

b) Regrouper deux à deux les termes d'exposants opposés et exprimer chacun deux en fonction des termes de la forme coskθ et sinkθ