I Définition
Soit Z un nombre complexe de module 1 et d’argument θ. On appelle formule de Moivre toute écriture de Z se ramenant sous la forme Zn= cos(nθ)+ isin(nθ) avec (n∈N)
II. Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est une méthode très pratique utilisée pour le développement des identités telles que :
• (a+b)n
• (a−b)n
Elle se présente comme suit :


III Application de la formule de Moivre
{Z=cosθ+isinθ¯Z=cosθ−isinθ ⇒ {Zn=cosnθ+isinnθ¯Zn=cosnθ−isinnθ
Soit
{cosnθ=Zn+¯Zn2sinnθ=Zn−¯Zn2
ZnׯZn=1
III La linéarisation d’une fonction
La linéarisation d’une fonction est une procédure pour approcher une fonction par une fonction linéaire.
Linéariser par exemple une fonction de la forme cosnθ ou sinnθ, c’est l’écrire comme fonction de cosnθ= f(coskθ) ou sinnθ= f(sinkθ) avec k∈N pour cela, on utilise soit la formule de Moivre soit la formule d’Euler
III.1 La formule de Moivre
Elle est donnée par :
• cosnθ= (Z+¯Z)n2
• sinnθ= (Z−¯Z)n2
Pour tout Z≠0, et n∈ Z on a : arg(Zn) =n×arg(Z)
Pour θ∈ R et n∈ Z on a : (cosθ+isinθ)n =cosnθ+isinnθ
III.2 La formule d’Euler
Elle est donnée par :
• cosnθ= (eiθ+e−iθ)n2
• sinnθ= (eiθ−e−iθ)n2
III.3 La formule du binôme de Newton
Soit à développer (x+a)n, on peut utiliser la formule du binôme de Newton qui est la suivante
(x+a)n= C0na0xn+ C1na1xn−1+ C2na2xn−2+...+ C2na2xn−2+...+ Cnnanx0
(a+b)n= n∑k=0Cknakbn−k
Pour Linéariser cosnθ ou sinnθ ; on peut utiliser le procédé suivant, mettant en jeu les formules (d'Euler ou de Moivre) et du (binôme de Newton ou du triangle de Pascal).
Méthode
a) Développer et réduire :
• cosnθ= (Z+¯Z)n2
• sinnθ= (Z−¯Z)n2
Ou
• cosnθ= (eiθ+e−iθ)n2
• sinnθ= (eiθ−e−iθ)n2
b) Regrouper deux à deux les termes d'exposants opposés et exprimer chacun deux en fonction des termes de la forme coskθ et sinkθ