I. Nombres complexes et géométrie

• Si A, B, C et D sont des points d’affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$, ${Z_C}$ et ${Z_D}$ tels que $A \ne B$ et $C \ne D$, alors $\arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right)$ est une mesure de l'angle orienté $\left( {\widehat {\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)$.
Autrement dit : $mes\left( {\widehat {\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)$ $= \arg \left( {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right)$ $+ 2k\pi$

Si A, B, C et D sont des points d’affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$, ${Z_C}$ et ${Z_D}$ tels que $C \ne D$, alors : $\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}}} \right|$ $= \frac{{AB}}{{CD}}$

II. Configurations du plan et nombres complexes

II.1 Droites parallèles

A, B, C et D sont des points d’affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$, ${Z_C}$ et ${Z_D}$ tels que : $A \ne B$ et $C \ne D$,.

Les droites $\left( {AB} \right)$ et $\left( {CD} \right)$ sont parallèles si et seulement $\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}} \in$ $\mathbb{R^*}$

II.2. Alignements de trois points

A, B et C sont des points tels que $A \ne B$ et $B \ne C$ d'affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$ et ${Z_C}$.
Les points distincts A, B, et C sont alignés
Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
$\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)$ $= 0 + k\pi$
Caractérisations complexes
$\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}} \in$ $\mathbb{R^*}$

II.3 Droites perpendiculaires

A, B, C et D sont des points d'affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$, ${Z_C}$ et ${Z_D}$ tels que : $A \ne B$ et $C \ne D$.

Les droites$\left( {AB} \right)$ et $\left( {AB} \right)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_D}}} \in$ $i \mathbb{R^*}$.

II.4 Points cocycliques (C’est-à-dire des points situés sur un cercle)

A, B, C et D sont des points deux à deux distincts et non alignés d'affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$, ${Z_C}$ et ${Z_D}$.
A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si :

$\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_D} - {Z_A}}}:$ $\frac{{{Z_C} - {Z_B}}}{{{Z_D} - {Z_B}}} \in$ $\mathbb{R^*}$

III Figures géométriques et nombres complexes

A, B et C sont des points non alignés d'affixes respectives ${Z_A}$, ${Z_B}$ et ${Z_C}$.

• Le triangle ABC est isocèle :

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
$AB = AC$
$\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)$ $= \alpha$ avec $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$
Caractérisations complexes
$\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} =$ ${e^{i\alpha }}$ ou $\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}} =$ ${e^{- i\alpha }}$

• Le triangle ABC est rectangle en A et isocèle

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
$AB = AC$
$\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)$ $= - \frac{\pi }{2}$ ou $\arg \left( {\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}} \right)$ $= \frac{\pi }{2}$
Caractérisations complexes
$\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = i$ ou $\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} = - i$

• Le triangle ABC est équilatéral  :

Configurations géométriques
Caractérisations géométriques
$AB = AC$ $= BC$
$\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} =$ ${e^{i\frac{\pi }{3}}}$ ou $\frac{{{Z_B} - {Z_A}}}{{{Z_C} - {Z_A}}} =$ ${e^{ - i\frac{\pi }{3}}}$
Caractérisations complexes
$\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}$ $= {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}$ ou $\frac{{{Z_C} - {Z_A}}}{{{Z_B} - {Z_A}}}$ $= {e^{i\frac{\pi }{3}}}$