Démontrons par récurrence les propositions suivantes
a) \(\forall n \in \) \( \mathbb{N^*}\), \({2^n} \succ n\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), on a : \({2^1} \succ 1\)
Pour \(n=2\), on a : \({2^2} \succ 2\)
• 2ième Étape ( Transmission)
Supposons \({2^k} \succ k\) et montrons que \({2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ k + 1\)
On sait que : \({2^k} \succ k\) (1)
En multipliant chaque membre de (1) par 2, on a : \(2 \times {2^k} \succ 2k\)
Or \(\forall k \in \) \( \mathbb{N}\), \(2k \ge k + 1\) ainsi \({2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ 2k\) \( \ge k + 1\)
Donc \({2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ k + 1\)
• 3ième Etape :( Conclusion) :

Alors : \(\forall n \in \) \( \mathbb{N^*}\), \({2^n} \succ n\)

b) \(\sum\limits_{k = 1}^n k = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) ;
\(\sum\limits_{k = 1}^n k = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) \( \Leftrightarrow 1 + 2 + \) \(3 + ... = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), \(1 = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2}\) \( = \frac{2}{2} = 1\) vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons \(\sum\limits_{k = 1}^n k = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) ; Vraie
Montrons que \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k \) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\)
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k \)\( = \) \(\sum\limits_{k = 1}^n {\left( k \right)} \) \( + \left( {n + 1} \right) = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \) \(\left( {n + 1} \right) = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right) + 2\left( {n + 1} \right)}}{2}\) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)(n + 2)}}{2}\)
Ainsi \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k \) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)(n + 2)}}{2}\)
• 3ième Étape :( Conclusion)

Alors : \(\sum\limits_{k = 1}^n k = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

c) \(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\) ;
\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} \) \( = {1^2} + {2^2} + \) \({3^2} + ... + {n^2}\) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), \({1^2} = \) \(\frac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}{6}\) \( = 1\) Vraie
• 2ième Étape (Transmission)
\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\) vraie et montrons que
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}} \)\( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}\) est aussi vraie.
En effet ;
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}} \) \( = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} \) \( + {\left( {n + 1} \right)^2}\) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\) \( + {\left( {n + 1} \right)^2}\) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left[ {2{n^2} + 7n + 6} \right]}}{6}\) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}\)
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie au rang \(n+1\) :

\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}} \) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}\)

d) \(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \) \(\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\) ;
\(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \) \({1^3} + {2^3} + {3^3}\) \( + .. + {n^3} = \) \(\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), on \({1^3} = \) \(\frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4}\) \( = 1\) Proposition juste
• 2ième Étape (Transmission)
Vérifions \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}} \) \( = \) \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}\)
En effet
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}} \) \( = \) \(\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} \) \( + {\left( {n + 1} \right)^3}\) \( = \) \(\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\) \( + {\left( {n + 1} \right)^3}\) \( = \) \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}\left( {{n^2} + 4\left( {n + 1} \right)} \right)}}{4}\) \( = \) \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}\)
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie au rang \(n+1\) :

\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}} \) \( = \) \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}\)

e) \(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = 3 - \) \(\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}\)
\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\) \( + \frac{5}{8} + ...\) \( + \frac{5}{8} + ...\) \( = 3 - \) \(\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), \(\frac{1}{2} = 3 - \) \(\frac{{3 + 2}}{2} = \) \(3 - \frac{5}{2} = \) \(\frac{1}{2}\) vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons \(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = 3 - \) \(\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}\) et montrons que \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = 3 - \) \(\frac{{3 + 2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}}}\)
En effet,
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( + \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}\) \( = 3 - \) \(\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}} + \) \(\frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}\) \( = 3 - \) \(\frac{{2\left( {3 + 2n} \right)}}{{{2^{n + 1}}}}\) \( + \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}\) \( = 3 - \) \(\frac{{2n + 5}}{{{2^{n + 1}}}}\)
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie:

\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} \) \( = 3 - \frac{{2n + 3}}{{{2^n}}}\)

f) \(\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)
\(\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = 2 + 6 + 12 + \) \(... + n\left( {n + 1} \right)\) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), on a :
\(2 = \) \(\frac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{3}\) \( = 2\) proposition vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons \(\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\) et montrons que \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{3}\) est aussi vraie
En effet
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = \sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)} \) \( + \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\) \( + \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) \( = \) \(\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{3}\)
• 3ième Étape (Conclusion)
L’expression est aussi vraie

\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)} \) \( = \) \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\)

g) \(\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}} \) \( = \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( + 1\)
\(\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}} \) \( = 1 + 4 + 12\) \( + ... + n{2^{n - 1}} = \) \(\left( {n - 1} \right){2^n}\) \( + 1\)
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour \(n=1\), on a :
\(1 \times {2^{1 - 1}} = \) \(\left( {1 - 1} \right){2^1}\) \( + 1 = 1\)
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons \(\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}} \) \( = \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( + 1\) vraie montrons que \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}} \) \( = n{2^{n + 1}} + 1\) est aussi vraie
En effet
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}} \) \( = 1 + 4 + 12 + \) \(... + n{2^{n - 1}} + \)\(\left( {n + 1} \right){2^n} = \) \(n{2^{n + 1}} + 1\)
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}} \) \( = \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( + 1 + \left( {n + 1} \right){2^n}\) \( = {2^n}\) \(\left( {n - 1 + 2 - 1} \right)\) \( + 1 = 2n{2^n}\) \( + 1 = n{2^{n + 1}}\) \( + 1\)
• 3ième Étape (Conclusion)
L’expression est aussi vraie

\(\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}} \) \( = \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( + 1\)