Démontrons par récurrence les propositions suivantes
a) $\forall n \in$ $\mathbb{N^*}$, ${2^n} \succ n$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, on a : ${2^1} \succ 1$
Pour $n=2$, on a : ${2^2} \succ 2$
• 2ième Étape ( Transmission)
Supposons ${2^k} \succ k$ et montrons que ${2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ k + 1$
On sait que : ${2^k} \succ k$ (1)
En multipliant chaque membre de (1) par 2, on a : $2 \times {2^k} \succ 2k$
Or $\forall k \in$ $\mathbb{N}$, $2k \ge k + 1$ ainsi ${2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ 2k$ $\ge k + 1$
Donc ${2^{\left( {k + 1} \right)}} \succ k + 1$
• 3ième Etape :( Conclusion) :

Alors : $\forall n \in$ $\mathbb{N^*}$, ${2^n} \succ n$

b) $\sum\limits_{k = 1}^n k =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ ;
$\sum\limits_{k = 1}^n k =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ $\Leftrightarrow 1 + 2 +$ $3 + ... =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, $1 = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2}$ $= \frac{2}{2} = 1$ vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons $\sum\limits_{k = 1}^n k =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ ; Vraie
Montrons que $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}$
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k$$=$ $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( k \right)}$ $+ \left( {n + 1} \right) =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} +$ $\left( {n + 1} \right) =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right) + 2\left( {n + 1} \right)}}{2}$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)(n + 2)}}{2}$
Ainsi $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)(n + 2)}}{2}$
• 3ième Étape :( Conclusion)

Alors : $\sum\limits_{k = 1}^n k =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

c) $\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$ ;
$\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}$ $= {1^2} + {2^2} +$ ${3^2} + ... + {n^2}$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, ${1^2} =$ $\frac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}{6}$ $= 1$ Vraie
• 2ième Étape (Transmission)
$\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} =$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$ vraie et montrons que
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}}$$=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}$ est aussi vraie.
En effet ;
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}}$ $= \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}$ $+ {\left( {n + 1} \right)^2}$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$ $+ {\left( {n + 1} \right)^2}$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left[ {2{n^2} + 7n + 6} \right]}}{6}$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}$
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie au rang $n+1$ :

$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^2}}$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{6}$

d) $\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} =$ $\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$ ;
$\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} =$ ${1^3} + {2^3} + {3^3}$ $+ .. + {n^3} =$ $\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, on ${1^3} =$ $\frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4}$ $= 1$ Proposition juste
• 2ième Étape (Transmission)
Vérifions $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}}$ $=$ $\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}$
En effet
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}}$ $=$ $\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}}$ $+ {\left( {n + 1} \right)^3}$ $=$ $\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$ $+ {\left( {n + 1} \right)^3}$ $=$ $\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}\left( {{n^2} + 4\left( {n + 1} \right)} \right)}}{4}$ $=$ $\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}$
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie au rang $n+1$ :

$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {{k^3}}$ $=$ $\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{4}$

e) $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}$
$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ $+ \frac{5}{8} + ...$ $+ \frac{5}{8} + ...$ $= 3 -$ $\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, $\frac{1}{2} = 3 -$ $\frac{{3 + 2}}{2} =$ $3 - \frac{5}{2} =$ $\frac{1}{2}$ vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}}$ et montrons que $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{3 + 2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}}}$
En effet,
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $+ \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{3 + 2n}}{{{2^n}}} +$ $\frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{2\left( {3 + 2n} \right)}}{{{2^{n + 1}}}}$ $+ \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{{2^{\left( {n + 1} \right)}}}}$ $= 3 -$ $\frac{{2n + 5}}{{{2^{n + 1}}}}$
• 3ième Étape :( Conclusion)
L’expression est aussi vraie:

$\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}}$ $= 3 - \frac{{2n + 3}}{{{2^n}}}$

f) $\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)}$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$
$\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)}$ $= 2 + 6 + 12 +$ $... + n\left( {n + 1} \right)$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, on a :
$2 =$ $\frac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{3}$ $= 2$ proposition vraie
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons $\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)}$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$ et montrons que $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)}$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{3}$ est aussi vraie
En effet
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)}$ $= \sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k + 1} \right)}$ $+ \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$ $+ \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)$ $=$ $\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{3}$
• 3ième Étape (Conclusion)
L’expression est aussi vraie

$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k\left( {k + 1} \right)}$ $=$ $\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}$

g) $\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}}$ $= \left( {n - 1} \right){2^n}$ $+ 1$
$\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}}$ $= 1 + 4 + 12$ $+ ... + n{2^{n - 1}} =$ $\left( {n - 1} \right){2^n}$ $+ 1$
• 1ière Étape (Initialisation)
Pour $n=1$, on a :
$1 \times {2^{1 - 1}} =$ $\left( {1 - 1} \right){2^1}$ $+ 1 = 1$
• 2ième Étape (Transmission)
Supposons $\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}}$ $= \left( {n - 1} \right){2^n}$ $+ 1$ vraie montrons que $\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}}$ $= n{2^{n + 1}} + 1$ est aussi vraie
En effet
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}}$ $= 1 + 4 + 12 +$ $... + n{2^{n - 1}} +$$\left( {n + 1} \right){2^n} =$ $n{2^{n + 1}} + 1$
$\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{2^{k - 1}}}$ $= \left( {n - 1} \right){2^n}$ $+ 1 + \left( {n + 1} \right){2^n}$ $= {2^n}$ $\left( {n - 1 + 2 - 1} \right)$ $+ 1 = 2n{2^n}$ $+ 1 = n{2^{n + 1}}$ $+ 1$
• 3ième Étape (Conclusion)
L’expression est aussi vraie

$\sum\limits_{k = 1}^n {k{2^{k - 1}}}$ $= \left( {n - 1} \right){2^n}$ $+ 1$