Exercice I

1. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls et \(\mu \) leur \(PPMC\), demontrer que \(a\) \( \mathbb{Z}\) \( \cap \) \(b\)\( \mathbb{Z}\) = \(\mu \) \( \mathbb{Z}\).
2. Soient \(a\), \(b\) et \(k\) trois entiers naturels non nuls, démontrer que \(PPMC\left( {ka,kb} \right)\) \( = kPPMC\left( {a,b} \right)\)
3. Pour tous entiers relatifs non nuls \(a\) et \(b\) et \(\delta \) leur PGCD, démontrer que \(d\left( {a; b} \right) = \) \(d\left( \delta \right)\).
4. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls et \(\delta \) leur PGCD
Un entier relatifs \(m\) est un multiple de \(\delta \) démontrer qu’il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(m = au + bv\).

Exercice II
Déterminer les entiers naturels \(a\) et \(b\) dans chacun des cas suivants :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 168\\PGCD\left( {a;b} \right) = 21\end{array} \right.\) ;
b) \(\left\{ \begin{array}{l}m + 3\Delta = 276\\10 \prec \Delta \prec 30\end{array} \right.\) ;
c) \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 405\\3m = a \bullet b\end{array} \right.\)

Exercice III
En utilisant le tableau d’Algorithme, déterminer le PGCD des entiers \(a\) et \(b\) dans chacun des cas suivants :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1455\\b = 335\end{array} \right.\) ;
b) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 46\\b = 43\end{array} \right.\).
c) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 304939\\b = 151097\end{array} \right.\).

Exercice IV
Déterminer le PGCD des nombres suivants et en déduire leurs PPCM
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 168\\b = 96\end{array} \right.\) ;
b) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 385\\b = 324\end{array} \right.\)