Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point \({x_0}\) quand elle admet une dérivée finie en \({x_0}\),

I. Nombre dérivé en un point \({x_0}\) :

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant \({x_0}\).
On dit que \(f\) est dérivable en \({x_0}\) si et seulement si la quantité \(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \({x_0}\). Cette limite est appelée nombre dérivé en \({x_0}\) et est noté \(f'({x_0})\).
C'est-à-dire : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) \( = f'({x_0})\)
Ou \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\) \( = f'({x_0})\) avec \(h = x - {x_0}\)

N.B : \(f\) est dérivable en \({x_0}\) si elle admet un nombre dérivé \(f'({x_0})\).
Toute fonction dérivable en un point \({x_0}\) est continue en \({x_0}\) ; La réciproque est inexacte.

II. Nombre dérivé à gauche – Nombre dérivée à droite

II.a) Nombre dérivé à gauche

Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) existe et est finie, alors on dit que \(f\) est dérivable à gauche en \({x_0}\). On la note \({f_g}'({x_0})\).

II.b) Nombre dérivée à droite

Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) existe et est finie, alors on dit que \(f\) est dérivable à gauche en \({x_0}\). On la note \({f_d}'({x_0})\).

Théorème :
Si \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \({x_0}\) et si les deux nombres dérivés sont égaux alors
\(f\) est dérivable en \({x_0}\) et on a :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) \( = f'({x_0})\)

III. Interprétation du nombre dérivé

III.1 Interprétation graphique d’un nombre dérivé

Soit \(f\) une fonction numérique d’une variable réelle et \(\left( \zeta \right)\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\)
Soit \({M_0}\left( \begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array} \right)\) un point fixé de \(\left( \zeta \right)\). \(M\left( \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right)\) un point courant de \(\left( \zeta \right)\); construisons la droite \(\left( {{M_0}M} \right)\). Lorsque \(x\) tend vers \({x_0}\) la droite \(\left( {{M_0}M} \right)\) vient occuper une position limite \(\left( {{M_0}T} \right)\) appelée tangente à la courbe \(\left( \zeta \right)\) au point \({M_0}\left( \begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array} \right)\) est appelé pente ou coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \({M_0}\left( \begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array} \right)\)
On dit que la courbe de la fonction \(f\) admet un point anguleux en \({x_0}\) si \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \({x_0}\) et \({f_d}'({x_0}) \ne \) \({f_g}'({x_0})\)

On dit que la courbe de la fonction f admet en \({x_0}\) une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées si \(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) a une limite infinie à gauche ou à droite en \({x_0}\).

III.2 Interprétation numérique d’un nombre dérivé

La fonction \(f\) est dérivable en \({x_0}\), alors une bonne approximation affine, lorsque \({x_0} + h\) est voisin de \({x_0}\), est : \(f({x_0} + h) \approx \) \(f({x_0}) + h.f'({x_0})\)

III.3 Interprétation cinématique d’un nombre dérivé

Si on appelle \(x(t)\) la loi horaire d’un mouvement, alors \(x'(t)\) représente la vitesse instantanée à l’instant \(t\). De même si on appelle \(v(t)\) la vitesse instantanée à l’instant t, alors \(v'(t)\) représente l’accélération à l’instant
En physique, on écrira \(x'(t) = v(t)\) \( = \frac{{dx(t)}}{{dt}}\) et \({a_G}(t) = x''(t)\) \( = v'(t) = \) \(\frac{{{d^2}x(t)}}{{d{t^2}}}\)

III.4 Équation de la tangente au point d’abscisse \({x_0}\): \(y = f'({x_0})\) \(\left( {x - {x_0}} \right) + f({x_0})\)

Si le nombre dérivé à gauche et le nombre dérivé à droite existent et sont différents, alors la courbe admet deux demi-tangentes en \({{M_0}}\) de coefficients respectifs les nombres dérivés à gauche et à droite de \({{x_0}}\) et fait un angle en ce point.
Si la courbe \(\left( \zeta \right)\) de la fonction \(f\) admet en un point \({{x_0}}\) , une tangente parallèle à l’axe des abscisses alors \(f'({x_0}) = 0\)

V Fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et dérivées usuelles

On dit que \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est dérivable en tout point de \(I\). L’ensemble D où \(f\) est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité

VI Dérivée de fonctions composées

Théorème : soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction dérivable sur un intervalle contenant \(f(I)\). La fonction \(g \circ f(x)\) est dérivable sur \(I\) et on a : \(\left( {g \circ f(x)} \right)' = \) \(f' \times \left( {g' \circ f(x)} \right)\)

VII Dérivée de la réciproque d’une fonction

Soit \(f\) une fonction dérivable, strictement monotone sur un intervalle \(I\), telle que \(\forall x \in I\), \(f'(x) \ne 0\)
La fonction \(f\) réalise une digestion sur \(I\) vers \(f(I)\).
La bijection réciproque \({f^{ - 1}}\) est dérivable sur \(f(I)\) et on a : \(\left( {{f^{ - 1}}(x)} \right)' = \) \(\frac{1}{{f' \circ {f^{ - 1}}}}\)

VIII Théorème de Rolle

Soit une fonction \(f(x)\) satisfaisant aux conditions suivantes :
• Etre définie et continue sur le segment \(\left[ {a;b} \right]\) ;
• Etre dérivable en tout point de l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) ;
• \(f(a) = f(b)\)
Si ces trois conditions sont remplies, il existe alors, entre \(a\) et \(b\), au moins un nombre \(c\) tel que l’on ait : \(f'(c) = 0\)

Comme conséquence de ce théorème, on a le théorème des accroissements finis

IX. Inégalité des accroissements finis

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle I, \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) \(\left( {a \prec b} \right)\).
S’il existe deux nombres réels \(m\) et \(M\) tels que pour tout \(x\) élément de \(\left[ {a,b} \right]\), \(m \le f'(x) \le M\), alors \(m\left( {b - a} \right) \le f(b)\) \( - f(a) \le M\left( {b - a} \right)\)

Formule de l’inégalité des accroissements finis

S’il existe deux nombres réels \(m\) et \(M\) tels que pour tout \(x\) élément de \(\left[ {a,b} \right]\), \(\left| {f'(x)} \right| \le M\), alors pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\), on a : \(\left| {f(b) - f(a)} \right|\) \( \le M\left| {b - a} \right|\).
Cette propriété se déduit de l’inégalité des accroissements finis en remplaçant \(m\) par \(-M\)

X Notion sur les dérivées successives d’une fonction

Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle
• Si \(f\) est dérivable sur \(I\), sa dérivée \({f'}\) est appelée dérivée première de \(f\) ; on la note aussi \({f^{\left( 1 \right)}}\).
• Si \(f’\) est dérivable sur \(I\), sa dérivée \({f'’}\) est appelée dérivée seconde de \(f\) ; on la note aussi \({f^{\left( 2 \right)}}\).
• De proche en proche, la fonction dérivée n-ième de \(f\) sur \(I\), si elle existe, est la derivee de la fonction dérivée (n-1)-ième \(f\) sur \(I\). On la note \({f^{\left( n \right)}}\).