Prérequis :

Toute fraction rationnelle régulière peut être mise, et cela d'une seule manière, sous la forme d'une somme d'éléments simples.
Soit $\frac{{F(x)}}{{f(x)}}$ une fraction rationnelle régulière.
Nous supposerons que les coefficients des polynômes qui la composent sont réels et qu'en outre la fraction est irréductible (c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n'ont pas de racines communes).

Théorème 1. Soit $x = a$ une racine multiple d'ordre $k$ du dénominateur, c'est-à-dire $f(x) =$ ${\left( {x - a} \right)^k}$ ${f_1}(x)$ où ${f_1}(a) \ne 0$; la fraction régulière $\frac{{F(x)}}{{f(x)}}$ peut alors se décomposer en une somme de deux fractions régulières de la manière suivante :
$\frac{{F(x)}}{{f(x)}} =$ $\frac{A}{{{{(x - a)}^k}}} +$ $\frac{{{F_1}(x)}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}}$
où le coefficient $A$ est différent de zéro et ${{F_1}(x)}$ est un polynôme de degré inférieur à celui du dénominateur ${{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}$.

En appliquer un raisonnement analogue à la fraction rationnelle régulière $\frac{{{F_1}(x)}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}{f_1}(x)}}$, on obtiendra
$\frac{{F(x)}}{{f(x)}} =$ $\frac{A}{{{{(x - a)}^k}}} +$ $\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^{k - 1}}}} +$ $\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{k - 2}}}}$ $+ ... +$ $\frac{{{A_{k - 1}}}}{{x - a}}\frac{{{F_k}(x)}}{{{f_1}(x)}}$

On peut déterminer les coefficients $A$, ${A_1}$ , . . ., ${A_{k - 1}}$ en tenant compte des considérations suivantes. L'égalité précédente est une identité, par conséquent, si nous réduisons ces fractions au même dénominateur, nous aurons aux numérateurs à droite et à gauche des polynômes identiquement égaux. En égalant les coefficients des mêmes puissances de x, nous trouvons un système d'équations pour déterminer les coefficients inconnus $A$, ${A_1}$ , . . ., ${A_{k - 1}}$.
Cette méthode de recherche des coefficients est appelée méthode des coefficients indéterminés.

Théorème 2. Si $f(x) =$ ${\left( {{x^2} + px + q} \right)^\mu }$ où le polynôme ${\varphi _1}(x)$ n'est pas divisible par ${{x^2} + px + q}$, la fraction rationnelle régulière $\frac{{F(x)}}{{f(x)}}$ peut être représentée par la somme de deux fractions régulières de la manière suivante :
$\frac{{F(x)}}{{f(x)}} =$ $\frac{{Mx + N}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}}$ $+$ $\frac{{{\phi _1}(x)}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }{\varphi _1}(x)}}$
où ${{\phi _1}(x)}$ est un polynôme de degré inférieur à celui du polynôme ${{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}$ ${{\varphi _1}(x)}$