Correction exercice I

a) Chaque roue du cadenas représente une expérience.
Le nombre de possibilités totales est donc, en appliquant le principe du dénombrement : 10 × 10 × 10 = 1000, c’est en fait tous les nombres de 000 à 999.
b) Le premier chiffre ne peut pas être 0 car si tel était, le nombre aurait 5 chiffres.
a) On applique le principe de dénombrement et on obtient 9×10×10×10×10×10 = 900 000.
b) Le nombre se termine soit par 0 soit par 5, donc on applique également le principe du dénombrement et on obtient 9× 10× 10× 10× 10× 2 = 1 800 000.
c) On applique toujours le même principe mais cette fois-ci on aura 9 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 1 36 080, car chaque chiffre choisi ne peut plus être utilisé à nouveau.

Correction exercice II

a) En considérant le choix du père comme la première expérience et ensuite le choix de l'un de ses fils comme la seconde, nous conclurons d'après le principe fondamental de dénombrement qu'il y a 10 x 3 = 30 choix possibles.
b) Nous pouvons considérer le choix d'un sous-comité comme le résultat combiné de 4 expériences distinctes, chacune consistant à choisir un unique représentant dans l'une des classes. Par conséquent, en application de la version généralisée du principe fondamental de dénombrement, il y a 3 x 4 x 5 x 2 = 120 sous-comités possibles
c) Il y a sept lettres, mais seulement quatre catégories distinctes, soit un nombre de mots distincts égal à :
• « b » 2
• « a » 2
• « r » 2
• « e » 2
Ainsi : \(\frac{{7!}}{{2!2!2!1!}} = 63\)

Correction exercice III

Le premier chiffre ne peut pas être 0 car si tel était, le nombre aurait 5 chiffres.
a.1) On applique le principe de dénombrement et on obtient 9×10×10×10×10×10 = 900 000.
a.2) Le nombre se termine soit par 0 soit par 5, donc on applique également le principe du dénombrement et on obtient 9 ×10× 10×10× 10×2 = 180 000.
a.3) On applique toujours le même principe mais cette fois-ci on aura 9 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 136 080, car chaque chiffre choisi ne peut plus être utilisé à nouveau.
b.1) Les éléments sont discernables et l’ordre compte, on applique la formule des permutations : \(A_5^5 = \frac{{5!}}{{(5 - 5)!}}\) \( = 5! = 120\) manières.
b) Généralisons à \(n\) personnes, on ne s’occupe que de la position relative des personnes, donc la manière dont on place la première n’importe pas, il y a ensuite \(n – 1\) possibilités de placer une deuxième personne, puis \(n – 2\) possibilités de placer la troisième etc.. Nous avons donc dans le cas qui nous intéresse, combiner ses personnes.
\(C_5^5 = \frac{{5!}}{{5!(5 - 5)!}}\) \( = 4! = 24\) manières
c.1) En application de la version généralisée du principe de base de dénombrement, la réponse est 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175 760 000 plaques possibles
c.2) Dans ce cas, il y aurait 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78 624 000 plaques possibles.
d.1) 26×25× 24×23× 22×21 ×20×19 ×18×17 = 19 275 223 968 000, on peut également le voir comme étant le nombre possible d’arrangements que l’on peut faire avec un échantillon de 10 éléments parmi 26, autrement dit \(A_{26}^{10}\)
d.2) A chaque position (1 à 10) on peut mettre 26 lettres différentes donc le nombre sera \({26^{10}}\).

Correction exercice IV

a) Chaque fenêtre a deux configurations possibles, ouverte ou fermée, ce qui fait \({2^8}\) configurations.
b) Ici chaque fenêtre à 4 configurations possibles donc on a \({4^8}\) configurations possibles.
c) On peut considérer que l’on aura 1× 2× 2× 2× 2× 1× 2× 2 = \({2^6}\) configurations.

Correction exercice V

a) Il y a 3 possibilités d’avoir une rouge, 4 possibilités d’avoir une bleue et 5 possibilités d’avoir une jaune ce qui se traduit par \(\left( \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 4\\ 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 5\\ 1 \end{array} \right) = 60\)
b.1) Comme chaque classement correspond à un certain arrangement ordonné de 10 personnes, on voit que la réponse à cette partie du problème est 10! = 3 628 800.
B.2) il y a 6! classements des hommes entre eux et 4! classements des femmes entre elles, il résulte par application du principe fondamental qu'il y aura dans ce cas (6!)(4!) = (720)(24) = 17 280 classements possibles.
c) Il y a \(\frac{{10!}}{{4!3!2!1!}} = 12600\) classements possibles
d.1) Comme il y a \(C_5^2\) groupes possibles de 2 hommes et \(C_7^3\) groupes possibles de 3 femmes, il y a selon le principe fondamental \(C_5^2\) \(C_7^3\) =350 comités de 2 hommes et 3 femmes.
d.2) Considérons maintenant le cas où deux des femmes refusent de siéger ensemble au comité. Il y aura \(C_2^0\) x \(C_5^3\) groupes possibles de trois femmes ne contenant aucune des deux ennemies en question et \(C_2^1\) x \(C_5^2\) groupes contenant exactement l'une des deux, il y aura par conséquent \(C_2^0\) x \(C_5^3\) + \(C_2^1\) x \(C_5^2\) = 30 groupes de 3 femmes ne contenant pas les deux ennemies à la fois. Puisqu'il y a \(C_5^2\) façons de choisir les 2 hommes, il sera possible au total de composer 30 x \(C_5^2\) = 300 comités différents.

Correction exercice VI

Il y a \(C_{12}^6\) possibilités de former le premier groupe puis \(C_{6}^6\) possibilités de former le deuxième donc \(C_{12}^6C_{12}^6 = 924\) possibilités.

Correction exercice VII

a) On choisit 5 amis parmi 11, c’est-à-dire qu’il y a \(C_{11}^5 = 462\) invitations possibles.
b) Les deux inséparables sont soit invités ensemble soit ignorés les deux. Si on les invite alors il faut choisir encore 3 autres invités parmi 11−2 = 9, donc \(C_{9}^3\) = 84. Si on ne les invite pas il faut choisir 5 invités parmi 11-2=9 c’est-à-dire \(C_{9}^5\) = 126, en additionnant les deux résultats on obtient la valeur désirée \(C_{9}^3\) + \(C_{9}^5\) = 210.
c) Supposons que les ennemis s’appellent A et B. On peut réaliser une invitation sans problème en invitant A et 4 autres personnes sauf B, ou B et 4 autres personnes sauf A, ou encore ni A ni B, ce qui donne
\(C_{9}^4\) + \(C_{9}^4\) + \(C_{9}^5\) = 378.