Exercice I

1. Quelle est l’espérance mathématique \(E(X)\) de la variable X, résultat du lancer d'un dé équilibré ?
2. On jette cinq pièces de monnaie équilibrées, Les résultats sont supposés indépendants. Donner la loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de faces piles obtenus.

Exercice II

Le jeu d'argent décrit ci-dessous est appelé «roue de la fortune» et est très populaire lors de bien des carnavals et dans les casinos.
Un joueur parie et mise sur un numéro compris entre 1 et 6 inclusivement. On jette ensuite trois dés. Si le nombre choisi par le joueur apparaît \(i\) fois \((i = 1, 2, 3)\), celui-ci gagne l’équivalent en unité. (soit \(i\) unité (s)
Dans le cas où ce nombre n'apparaît pas, le joueur perd une unité.
1. Établir la loi de répartition de cette variable aléatoire.
2. Ce jeu est-il honnête vis-à-vis du joueur? En d’autres termes, le jeu est-il honnête ?

Exercice III

Une machine est composée de trois blocs qui fonctionnent indépendamment les uns des autres. La probabilité que chaque bloc tombe en panne est égale à 0.1.
Établir la loi de répartition du nombre de blocs tombés en panne au cours d'une expérience donnée. On suppose que la loi est binomiale.

Exercice IV

On considère 10 œufs parmi lesquels 8 sont de bonne qualité. On en choisit à la fois deux au hasard.
Établir la loi de répartition du nombre d’œufs de bonne qualité parmi les choisis.

Exercice V

Un examinateur pose des questions à un candidat.
La probabilité que ce candidat réponde correctement à une question est égale à 0,9. Cet examinateur cesse de poser de question immédiatement dès que le candidat ne répond pas correctement à la question posée.
1. On demande d’établir la loi de répartition de la variable aléatoire X: "nombre de questions posées au candidat".
2. Le nombre le plus probable \({m_o}\) de questions posées au candidat.

Exercice VI.

Un Homme tire alternativement avec deux armes sur un objet jusqu'à la première atteinte de celui-ci par l'une d'elles. Les probabilités d'atteinte de l'objet par la première arme est égale à 0,3 et par la seconde arme, égale à 0,7. Il commence le tir avec la première arme.
Établir les lois de répartition des variables aléatoires discrète X et Y représentant respectivement les nombres des balles utilisées avec la première et la seconde amies.
NB : Cette répartition est binomiale

Exercice VII

Les deux questions sont totalement indépendantes.
A. On donne les variables aléatoires X et Y définies respectivement par leurs lois de répartition:
1. On demande de déterminer leurs espérances mathématiques.
2. En posant \(\left\{ \begin{array}{l} X = {X_1} + 2{Y_1}\\ Y = 3{X_1} + 4{Y_1} \end{array} \right.\).
Calculer les espérances mathématiques \(E\left( {{X_1}} \right)\) et \(E\left( {{Y_1}} \right)\)
B. La loi de répartition d'une variable aléatoire X est définie comme suit :
Sachant que \(E(X) = 0,2\) et \(E({X^2}) = 0,4\), calculer \({p_1}\), \({p_1}\) et \({p_1}\)

Exercice VIII

Les deux questions sont totalement indépendantes
1. Sachant que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes dont la variance sont \(D\left( X \right) = 5\) et \(D\left( Y \right) = 6\).
Calculer la dispersion de la variable Z tel que \(Z = 3X + 2Y\)
B. La loi de répartition d'une variable aléatoire X est définie comme suit :
Calculer la dispersion de X ainsi que son écart quadratique moyen.