Situation problème
Kenfack dispose d’une bobine idéale d’inductance L sur laquelle aucune information n’est mentionnée, il souhaite connaitre la valeur de L, pour cela il fait un montage constitué de cette bobine et d’un condensateur de capacité C =100μF.
Des enregistrements lui ont permis d'obtenir à chaque instant la tension aux bornes de la bobine \(u(t) = 100\) \(\cos \left( {2 \times {{10}^{ - 4}}t} \right)\).
Aide cet élève à retrouver la valeur de l’inductance L.

I. Etude théorique du circuit LC

Réunissions les deux armatures A est B d’un condensateur chargé aux bornes N et M d’une bobine purement inductive.
Choisissions un sens algébrique pour l’intensité \(i\), d’après la loi des mailles, à chaque instant, nous aurions : \({u_{AB}} + {u_{MN}} = 0\)
\({u_{AB}} = \frac{q}{C}\), \({u_{MN}} = L\frac{{di}}{{dt}}\) \( = L\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}}\) car \(i = \frac{{dq}}{{dt}}\)
il vient alors que \(\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{q}{{LC}} = 0\)
Qui est une équation différentielle donc la solution est de la forme :
\(q(t) = \) \({Q_m}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)
Avec \({Q_m}\) la charge maximale, \(\varphi \) la phase à l’instant initial des constantes qui sont déterminées à l’aide des conditions initiales.
\(\ddot q(t) = \) \({Q_m}{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) \( = {\omega ^2}q(t)\) en le remplaçant dans l’équation différentielle précédente, nous avons : \(LC{\omega ^2} = 1\)
Soit \(\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\) est la pulsation propre de l’oscillateur, le circuit est donc le siège d’oscillations électriques libres non amorties de période propre.
\(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) \( = 2\pi \sqrt {LC} \) encore appelée Formule de Thomson.

NB : \(\omega \) est généralement noté \({\omega _0}\) et est la pulsation propre de l’oscillateur
En effet, Il y a charges et décharges successives du condensateur, on dit que le système oscille.
L’armature A chargée initialement par exemple positivement se charge négativement tandis que l’armature B prend une charge positive et ainsi de suite.
Il y’a un changement périodique du signe des charges portées par les armatures du condensateur.
\({\omega _0}\), \({T_0}\), \({N_0}\) sont appelés respectivement pulsation propre, période propre et fréquence propre du circuit oscillant.
L’intensité du courant est donnée par la relation
\(i(t) = \frac{{dq}}{{dt}} = \) \( - {\omega _0}{Q_m}\sin ({\omega _0}t + \varphi )\) \( = {I_m}\cos ({\omega _0}t + \) \(\varphi + \frac{\pi }{2})\)
Avec \({I_m} = {\omega _0}{Q_m}\) l’intensité maximale du courant ou amplitude de l’intensité.
L’intensité est aussi une fonction sinusoïdale du temps; Elle est en quadrature avance (déphasage de \(\frac{\pi }{2}\)) avec la charge du condensateur.

II. L’énergie électromagnétique :

L’énergie électromagnétique \(E\) d’un circuit oscillant LC est la somme de l’énergie magnétique de la bobine et de l’énergie électrique du condensateur
\(E = {E_{mag}} + {E_{ele}}\) \( = \frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C}\)
L’énergie de cet système étant conservatif, nous avons
\(\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\) \(\left( {\frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C}} \right) = 0\)
\(Li\frac{{di}}{{dt}} + \frac{q}{C}\frac{{dq}}{{dt}} = \) \(L\frac{{di}}{{dt}} + \frac{q}{C} = 0\)
avec \(i = \frac{{dq}}{{dt}}\), on retrouve l’équation différentielle précédente régissant les oscillations du système
\(\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{q}{{LC}} = 0\)

On montre également que l’énergie du système se conserve en remplaçant dans l’expression de l’énergie totale \(q(t) = \) \({Q_m}\cos ({\omega _0}t + \varphi )\) et \(i(t) = - {\omega _0}{Q_m}\) \(\sin ({\omega _0}t + \varphi )\)
\(\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}} \Rightarrow \) \(L\omega _0^2 = \frac{1}{C}\)
\(E = \frac{1}{2}L\omega _0^2Q_m^2\) \({\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi ) + \frac{1}{{2C}}Q_m^2\) \({\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi )\)
\(E = \frac{1}{2}L\omega _0^2Q_m^2\) \(({\sin ^2}({\omega _0}t + \varphi ) + \) \({\cos ^2}({\omega _0}t + \varphi ))\)
\(E = \frac{1}{2}L\omega _0^2Q_m^2\) \( = \frac{1}{{2C}}Q_m^2\)L’énergie électromagnétique du circuit LC se conserve.