Problème Epreuve de mathématiques au probatoire D et TI 2015

Problème (11points)

Il contient trois parties indépendantes A, B et C.
1) Développer ${(\sqrt 3 - 1)^2}$ 0,25 pt
2) Résoudre dans IR l'équation $2{x^2} - (\sqrt 3 + 1)x$ $+ \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$ 1 pt.
3) En déduire dans IR, puis dans $[0,2\pi [$ l'ensemble solution de l'équation :
$2{\cos ^2}(x) - ($ $\sqrt 3 + 1)\cos (x) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$ 1,25 pt
B) Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )$. Soit $A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right)$, $B\left( {\begin{array}{*{20}{c}}9\\{ - 4}\end{array}} \right)$ et $C\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right)$ trois points du plan. Soit l le milieu du segment [BC] et G l’isobarycentre des points A, B et C.
1) a) Déterminer les coordonnées de G. 0,5pt
b) Que représente G pour le triangle ABC ? 0,25pt
c) Calculer les distances AB, AC et BC. En déduire que le triangle ABC est rectangle en A. 1pt.
2) a) Déterminer et construire l'ensemble (C) des points M du plan tels que $M{B^2} + M{C^2} = 100$ 1 pt
b) En déduire une représentation paramétrique de (C) 0,5 pt
C) On considère la fonction f numérique de variable réelle, de courbe représentative (C_f) dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )$. Le tableau de variation de f est le suivant :Par lecture du tableau de variation ci-dessus ; déterminer:
1) L'ensemble de définition Df, de f ; 0,25 pt
2) Les limites de f aux bornes de D 1pt;
3) f (-1) : f (1) : f ‘(-1) et f ’(1)      1 pt
II) On suppose que $f(x) = ax + b + \frac{c}{x}$ pour tout $x \ne 0$ où a, b et c sont trois réels.
1) En utilisant les résultats précédents, montrer que $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$ pour: tout $x \ne 0$     0,75 pt
2) Montrer que la droite (D) d'équation y = x + 1 est asymptote oblique à la courbe (C_f). 0,5pt
3) Montrer que le point $\Omega \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right)$ est centre de symétrie pour la courbe (C_f). 0,5pt
4) Construire avec soin (C_f) et (D) dans le même repère orthonormé $(O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j )$ 1.25pt
Unité sur les axes : 1 cm