L’épreuve est notée sur 20 et comporte deux parties A et B réparties sur trois pages.

PARTIE A : Évaluation des ressources (15points)

Exercice 1 : 5 points (Uniquement pour la série TI)

E est un plan vectoriel réel dont une base est \(B = \left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\). Soit \(f\) un endomorphisme de E dont la matrice dans la base B ci-dessus est :
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 4}&{\sqrt 3 }\\{ - \sqrt 3 }&m\end{array}} \right)\)
où \(m\) est un paramètre réel.
1. Déterminer les valeurs de \(m\) pour que \(f\) soit un automorphisme de E. 0,5 pt
On prend \(m = 1\) pour la suite de l’exercice.
2. a. Déterminer \(f(\overrightarrow i )\) et \(f(\overrightarrow j )\). 0,5 pt
b. Déterminer le noyau de \(f\), puis en donner une base. 0,5 pt
c. Déterminer l’image de \(f\), puis en donner une base. 0,5 pt
3.on pose \(\overrightarrow u = \overrightarrow i + \sqrt 2 \overrightarrow j \) et \(\overrightarrow v = \sqrt 3 \overrightarrow i + \overrightarrow j \) deux vecteurs de E.
a. Montrer que \(B' = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\) est une base de E. 0,5 pt
b. Montrer que la matrice de \(f\) dans la base B’ est \(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right)\). 0,5 pt
c. Calculer \({M^2}\) et \({M^3}\) 0,5 pt
d. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), on a :
\({M^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&{{{\left( { - 2} \right)}^n}}\end{array}} \right)\). 0,5 pt

Exercice 2 : 4 points

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) par : \(f(x) = \) \(\ln \left( {1 + x} \right)\).
a. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\). 0,5 pt
b. Calculer \(f(0)\). 0,25 pt
c. En déduire que pour tout \(x \ge 0\), \(f(x) \ge 0\) 0,5 pt
d. Montrer que pour tout \(x \ge 0\), \(\ln \left( {1 + x} \right) \le x\) 0,75 pt
2. On considère la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par : \({u_0} = 1\) et \({u_{n + 1}} = \) \(\ln \left( {1 + {u_n}} \right)\).
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} \succ 0\). 0,5 pt
b. Montrer que pour tout entier naturel \({u_{n + 1}} \le {u_n}\) 0,5 pt
c. Déduire des questions précédentes que la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) converge. 0,5 pt
3. On désigne par \(l\) la limite de la suite \(\left( {{u_n}} \right)\). On admet que \(f(l) = l\) .
Déterminer la valeur de \(l\). 0,5 pt

Exercice 3 :3 points

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher parmi lesquelles 2 blanches, 3 bleues et 3 rouges. On tire successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
1. Calculer la probabilité pour que les 2 boules tirées soient de même couleur. 0,75 pt
2.On appelle X la variable aléatoire qui à ce tirage associe le nombre de boules rouges tirées.
a. Montrer que la loi de probabilité de X est :

b. Calculer l’espérance mathématique de X. 0,5 pt
c. Calculer la variance de X. 0,5 pt
d. Calculer l’écart-type de X. 0,5 pt

Exercice 4 : 3 points

Anne et Solange sont deux amies qui se rendent dans un supermarché pour acheter uniquement des oranges, ananas et avocats. Anne achète une orange à 200 FCFA, un ananas à 350 FCFA, un avocat à 600 FCFA et paie la somme de 23250 FCFA.
Solange achète une orange à 300 FCFA, un ananas à 500 FCFA, un avocat à 800 FCFA et paie la somme de 32500 FCFA. Elles achètent en tout 60 fruits.
1. On désigne respectivement par \(x\), \(y\), et \(z\) le nombre d’oranges, d’ananas et d’avocats achetés par les deux amies.
a. Justifier que les nombres \(x\), \(y\), et \(z\) vérifient le système (S) ci-dessous :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 30\\2x + 3,5y + 6z = 232,5\\3x + 5y + 8z = 325\end{array} \right.\) 1,5 pt
b. Résoudre le système (S).0,75 pt
2. En déduire le nombre d’oranges, le nombre d’ananas et le nombre d’avocats achetés par les deux amies. 0,75 pt

PARTIE B : Évaluation des compétences (5points)

Situation :
Les experts chinois en énergie solaire qui ont installé les lampadaires solaires dans le chef-lieu départemental d’une des régions du Cameroun ont révélé au Maire de ce chef-lieu que la quantité d’énergie solaire en kWh absorbée par ces lampadaires pendant la journée en fonction du temps en heure est donnée par la fonction définie par :
\(f(t) = \) \(\left\{ \begin{array}{l}0(1)\\ - 54 + 12t + \frac{1}{2}{t^2}(2)\\0(3)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right)\) si \(0 \le t \le 6\)
\(\left( 2 \right)\) si \(6 \le t \le 18\)
\(\left( 3 \right)\) si \(18 \le t \le 24\)
M. le Maire se pose un certain nombre de questions légitimes concernant la capacité de ces plaques solaires à stocker effectivement l’énergie solaire. En répondant aux questions posées ci-après, donne des éléments de réponse à certaines questions que le Maire se pose.

Tâches :

1. Déterminer l’heure où l’absorption d’énergie solaire par ces lampadaires est maximale et donner cette quantité. 1,5pt
2. Déterminer l’intervalle de temps pendant lequel l’absorption d’énergie solaire par ces lampadaires augmente. 1,5pt
3. Est-il vrai qu’il existe deux temps distincts dans la journée où la quantité d’énergie solaire absorbée vaut 6 kWh ? 1,5pt

Présentation : 0,5 pt