Partie A : Évaluations des ressources / 15 points

Exercice 1 / 4 points

1. On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 36{x^2}$ $- 2{x^3}$
Montrons que $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle
$\left( E \right):36y'' +$ $6y' + y =$ $2592 - 2{x^3}$
Nous avons $\left\{ \begin{array}{l}f(x) = 36{x^2} - 2{x^3}\\f'(x) = 72x - 6{x^2}\\f''(x) = 72 - 12x\end{array} \right.$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $36f''(x) +$ $6f'(x) + f(x)$ $= 2592 - 2{x^3}$, $f$ est donc une solution de l'équation différentielle $\left( E \right)$. 1 pt
2. Etudions les variations de f sur l'intervalle $\left[ {0;18} \right]$ et déterminons la valeur de $x$ pour laquelle $f$ atteint son maximum 1,5 pt
On a : $f'(x) = 72x$ $- 6{x^2} =$ $6x(12 - x)$ et $f'(x) = 0$ $\Rightarrow 6x(12 - x)$ $= 0 \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 12\end{array} \right.$
D'où le tableau :
$f$ est strictement croissante sur $\left[ {0;12} \right]$ et strictement décroissante sur $\left[ {12;18} \right]$, alors $f(12)$ est le maximum $f$ sur $\left[ {0;18} \right]$.
La fonction $f$ atteint donc sur $\left[ {0;18} \right]$ le maximum en $x = 12$.
3-a) Démontrons que le nombre de tirages donnant une dose de chaque firme est $f(n)$
On choisit une dose par firme A, B et C. Ces firmes ayant respectivement n , n et $36 - 2n$ dose. Le tirage étant simultané, le nombre de tirages possibles donnant une dose de chaque firme est : 0,5 pt
$C_n^1 \times C_n^1 \times$ $C_{36n - 2n}^1 =$ ${n^2}\left( {36 - 2n} \right)$ $= f(n)$
3.b) Donnons l'expression de $P(n)$ en fonction de $f(n)$ et déterminons la valeur de $n$ pour laquelle $P(n)$ est maximale 1 pt
$P(n)$ est la probabilité de tirer une dose de chaque firme.
$P(n) =$ $\frac{{C_n^1 \times C_n^1 \times C_{36n - 2n}^1}}{{C_{36}^3}}$ $= \frac{{f(n)}}{{7140}}$
La valeur de $n$ qui rend $P(n)$ maximale est la même que celle qui rend $f(n)$ maximale. Et d'après la question 2, une telle valeur de $n$ est 12.

Exercice 2

$\left( {O;I,J} \right)$ est un repère orthonormé du plan. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation
$\left( E \right):{z^3} -$ $\left( {6 + i\sqrt 3 } \right){z^2} +$ $\left( {11 + 4i\sqrt 3 } \right)z$ $- 6 - 3i\sqrt 3 = 0$
1- Montrons que l'équation $\left( E \right) \Leftrightarrow$ $\left( {{z^2} - 4z + 3} \right)$ $\left( {z - 2 - i\sqrt 3 } \right)$ $= 0$
En développant l’expression précédente, nous obtenons $\left( E \right)$. D'où l’équivalence attendue. 0,5 pt
2. Résolvons dans c l'équation (E) 0,75 pt
$\left( E \right) \Leftrightarrow$ $\left( {{z^2} - 4z + 3} \right)$ $\left( {z - 2 - i\sqrt 3 } \right)$ $= 0 \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}{z^2} - 4z + 3 = 0\\z = 2 + i\sqrt 3 \end{array} \right.$
L'ensemble solution de l'équation $\left( E \right)$ est donc $\left\{ {1,3,2 + i\sqrt 3 } \right\}$.
3.a) On donne les points A, B, C et D d’affixes respectives ${{z_A} = 3}$, ${z_B} = 2 + i\sqrt 3 , \({{z_C} = 1}$ et ${z_D} = 11 + 4i\sqrt 3$
3) Démontrons me le triangle IAB est équilatéral 0,5 pt
3-a) Première approche:
$IA =$ $\left| {{z_A} - {z_I}} \right| = 2$
$IB =$ $\left| {{z_B} - {z_I}} \right|$ $= \left| {1 + i\sqrt 3 } \right|$ $= 2$
$AB =$ $\left| {{z_B} - {z_A}} \right| =$ $\left| { - 1 + i\sqrt 3 } \right| = 2$
D'où $AI = IB$ $= AB$
IAB est donc un triangle équilatéral.
Deuxieme approche : On a : $\frac{{{z_B} - {z_I}}}{{{z_A} - {z_I}}} =$ $\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}$ $= {e^{i\frac{\pi }{3}}}$. De cette relation, on a $AI = IB$ et$mes\left( {\widehat {\overrightarrow {IA} ,I\overrightarrow B }} \right)$ $= {60^o}$, IAB est donc un triangle équilatéral.
3.b) Déterminons l’affixe du point $F$ centre de la rotation et montrons que $r(C) = D$ 1,5 pt
La rotation $r$ a pour expression complexe $z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z$ $+ 2\sqrt 3 + \frac{3}{2} +$ $\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i$
comme $F$ est le centre de$r$, on a $r(F) = F$.
D'où ${z_F} = 3 + 4i$
On pourra remarquer à travers des calculs que $r(C) \ne D$
3.c) Donnons l'expression complexe de l’homothétie $h$ telle $h(I) = D$ et $h(B) = C$
L’homothétie $h$ a pour expression complexe : $z' = a + ib$ avec $a \in \mathbb{R}$.
$h(I) = D$ $\Leftrightarrow az + b$ $= 11 + 4i\sqrt 3$ et $a\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)$ $+ b = 7$. Ce qui donne $a = - 4$ et $b = 15 + 4i\sqrt 3$ soit $z' = - 4z +$ $15 + 4i\sqrt 3$ est l'expression complexe de $h$.
3.d) Déterminons l'expression complexe de $s = h^\circ r$
$r$ a pour expression complexe $z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z$ $+ 2\sqrt 3 + \frac{3}{2} +$ $\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i$ et celle de $h$ est $z' = - 4z +$ $15 + 4i\sqrt 3$ ; Celle de $s = h^\circ r$ est donc
$z' = - 4|$ $\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z +$ $2\sqrt 3 + \frac{3}{2} +$ $\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i| +$ $15 + 4i\sqrt 3 =$ $\left( { - 2 - 2i\sqrt 3 } \right)z$ $+ 9 - 8\sqrt 3 + i$ $\left( { - 8 + 10\sqrt 3 } \right)$ 0,75 pt

Exercice 3

on donne $h(x) = {e^{\frac{{x + 1}}{x}}}$ et $k(x) = - x +$ $x\ln x$ définies sur $\left] {0, + \infty } \right[$
1. Démontrons que l'équation $k(x) = 1$ admet une unique solution $a \in \left[ {3,4} \right]$ 1 pt
la fonction $k$ est dérivable sur $\left] {0, + \infty } \right[$ et $k'(x) = \ln x$.
D'où $k'(x) \succ 0$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ {3,4} \right]$.
$k$ est continue et strictement croissante sur $\left[ {3,4} \right]$ avec 1 appartenant à
$1 \in k\left( {\left[ {3,4} \right]} \right)$ $= \left[ {k(3),k(4)} \right]$ $= [ - 3 + 3\ln 3,$ $- 4 + 4\ln 4]$, puisque -$- 3 + 3\ln 3 = 0,29..$ et $- 4 + 4\ln 4$ $= 1,54...$.
L'équation $k(x) = 1$ admet alors une unique solution $a$ appartenant à l'intervalle $\left[ {3,4} \right]$..
2. Démontrons que $k(x) = 1$ si et seulement si $h(x) = x$
Soit $x \succ 0$, on a: $k(x) = 1 \Leftrightarrow$ $- x + x\ln x$ $= 1 \Rightarrow \ln x$ $= \frac{{x + 1}}{x}$
$\Rightarrow x = {e^{\frac{{x + 1}}{x}}}$ $\Leftrightarrow h(x) = x$ 0,25 pt
Démontrons que si $x \in \left[ {3,4} \right]$, alors $h(x) \in \left[ {3,4} \right]$ 0,5 pt
Soit $x \in \left[ {3,4} \right]$, $h$ est une fonction dérivable sur $\left[ {3,4} \right]$ et $h'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}{e^{\frac{{x + 1}}{x}}}$ $\prec 0$. $h$ est donc strictement décroissante sur $\left[ {3,4} \right]$
De $3 \le x \le 4$, on a $h(4) \le h(x)$ $\le h(3) \Rightarrow$ $3,49 \le h(x)$ $\le 3,80$ ainsi $3 \le h(x) \le 4$
3. Démontrons que $\left| {h(x)} \right| \le \frac{1}{2}$ pour tout $x \in \left[ {3,4} \right]$
On a $h'(x) = -$ $\frac{1}{{{x^2}}}h(x)$ et donc $\left| {h'(x)} \right| =$ $\frac{1}{{{x^2}}}h(x)$
$3 \le x \le 4$ $\Rightarrow \frac{1}{{16}} \le \frac{1}{{{x^2}}}$ $\le \frac{1}{9}$ et $3 \le h(x) \le 4$ soit $\frac{3}{{16}} \le \frac{1}{{{x^2}}}h(x)$ $\le \frac{4}{9}$
$\frac{3}{{16}} \le \left| {h'(x)} \right|$ $\le \frac{4}{9}$ ainsi $\left| {h'(x)} \right| \le \frac{1}{2}$ car $\frac{4}{9} \le \frac{1}{2}$ 0,5 pt
5. On donne la suite $U$ définie par ${u_0} = 3$ et ${u_{n + 1}} = f({u_n})$ 0,5 pt
5.a) Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u_n} \in \left[ {3,4} \right]$
Procédons par récurrence.
Au rang $n = 0$, on a ${u_0} = 3$ appartenant à $\left[ {3,4} \right]$.
Soit $n \in \mathbb{N}$, Supposons que ${u_n} \in \left[ {3,4} \right]$. On a d'après la question 3, on a $h({u_n}) \in \left[ {3,4} \right]$. D'où ${u_{n + 1}} \in \left[ {3,4} \right]$
Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u_n} \in \left[ {3,4} \right]$
5.b) Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le$ $\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|$
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u_n} \in \left[ {3,4} \right]$, et $\left| {h'(x)} \right| \le \frac{1}{2}$, pour $x$ appurtenant à $\left[ {3,4} \right]$.
Des Inégalités des Accroissements Finis, on a $\left| {h({u_{n + 1}}) - h(a)} \right|$ $\le \frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|$ . Or ${u_{n + 1}} = h({u_n})$ et $h(a) = a$ car $h(a) = 1$ donc $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le$ $\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|$
5.c) Déduisons-en que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$
Procédons par récurrence.
Au rang $n = 0$, on a $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| =$ $\left| {{u_0} - a} \right| =$ $\left| {3 - a} \right| \le \left| {3 - 4} \right|$ car $a \in \left[ {3,4} \right]$
D’où $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right|$ $\le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ pour $n = 0$
Soit $n \in \mathbb{N}$, Supposons que $\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$
D’apres la question 5.b) on a $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le$ $\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|$ ce qui entraine $\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le$ $\frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} \le$ ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}$ d’où $\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ 0,5 pt
5.d ) Démontrons que la suite $u$ est convergente et déterminons sa limite
On a $\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ où la suite ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}$ converge vers 0; Par la propriété d'encadrement, on en déduit que ${\left( {{u_n}} \right)}$ converge vers a.

Partie B : Évaluation des compétences

Solutions
Déterminons les nombre d’animaux de cette réserve
On procèdera par les étapes suivantes :
n On étudie les variations de la fonction g définie sur $\left[ { - 1; + \infty } \right[$ par : $g(x) = {x^3} -$ $3{x^2} + 4$. La fonction $g$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $g'(x) = 3{x^2}$ $- 6x = 3x$ $\left( {x - 2} \right)$. Les solutions de
l'équation $g'(x) = 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$. Le tableau de variation de g
On construit la courbe représentative (C) de g pour identifier les aires
Calculons les aires ${A_1}$,. ${A_2}$ et ${A_3}$ occupées respectivement par les macaques, les orang -outans et des chimpanzés en unités d’aires
${A_1} = \int_{ - 1}^0 {g(x)dx}$ $= \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ - 1}^0$ $= \frac{{11}}{4}$, donc ${A_1} = 44$ km2
${A_2} = \int_{ 0}^1 {g(x)dx}$ $= \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ 0}^1$ $= \frac{{13}}{4}$, donc ${A_2} = 52$ km2
${A_3} = \int_{ 1}^2 {g(x)dx}$ $= \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ 1}^2$ $= \frac{{3}}{4}$, donc ${A_3} = 12$ km2
On calcule le nombre d'animaux de la réserve en fonction des aires Le nombre de macaques est : ${N_1} = 15 \times 44$ $= 660$
Le nombre des orangs- outangs est: ${N_2} = 10 \times 52$ $= 520$
Le nombre de chimpanzés est de : ${N_3} = 12 \times 12$ $= 144$
Le nombre total d'animaux de la réserve est donc ${N_1} + {N_2} +$ ${N_3} = 1324$
Déterminons le volume de vaccin nécessaire pour la troisième vaccination
Soient x, y et z le nombre respectif de macaques, des orangs outans et des chimpanzés qui doivent être vaccinés et soit D la troisième dose administrée aux animaux.
La première dose est traduite par la relation $2x + y +$ $3z = 1136$, ${E_1}$
La deuxième dose est traduite par la relation : $2x + 3y +$ $4z = 1540$, ${E_2}$
La troisième dose est traduite par la relation : $2x + 5y +$ $5z = D$, ${E_3}$
En effectuant la différence ${E_1} - {E_2}$, on obtient la relation : $2y + z = 404$
En effectuant la différence ${E_3} - {E_2}$, on obtient la relation : $2y + z =$ $D - 1540$
De ces deux dernières relations, $D = 1944$. La dose cherchée est donc $D = 1,944$ L
Déterminons la probabilité pour que le chimpanzé choisi soit atteint de la maladie ${M_2}$
On note $\overline {{M_1}}$ l'évènement : ne pas avoir la maladie ${{M_1}}$. Les probabilités sonnées sont les suivantes :
$p\left( {{M_1}} \right) = \frac{{15}}{{100}}$
$p\left( {{M_2}/{M_1}} \right) = \frac{{20}}{{100}}$
$p\left( {{M_2}/\overline {{M_1}} } \right) = \frac{4}{{100}}$
${M_2} =$ $\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right) \cup$ $\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)$ ou $\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)$ et $\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right)$ sont disjoints
On a la probabilité $p\left( {{M_2}} \right) =$ $p\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right)$ $+ p\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)$
$p\left( {{M_2}} \right) = \frac{{20}}{{100}} \times$ $\frac{{15}}{{100}} + \frac{4}{{100}} \times$ $\frac{{85}}{{100}} = \frac{{640}}{{10000}}$ $= 0,064$