Partie A : Évaluations des ressources / 15 points

Exercice 1 / 4 points

1. On donne la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 36{x^2}\) \( - 2{x^3}\)
Montrons que \(f\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle
\(\left( E \right):36y'' + \) \(6y' + y = \) \(2592 - 2{x^3}\)
Nous avons \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) = 36{x^2} - 2{x^3}\\f'(x) = 72x - 6{x^2}\\f''(x) = 72 - 12x\end{array} \right.\)
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(36f''(x) + \) \(6f'(x) + f(x)\) \( = 2592 - 2{x^3}\), \(f\) est donc une solution de l'équation différentielle \(\left( E \right)\). 1 pt
2. Etudions les variations de f sur l'intervalle \(\left[ {0;18} \right]\) et déterminons la valeur de \(x\) pour laquelle \(f\) atteint son maximum 1,5 pt
On a : \(f'(x) = 72x\) \( - 6{x^2} = \) \(6x(12 - x)\) et \(f'(x) = 0\) \( \Rightarrow 6x(12 - x)\) \( = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 12\end{array} \right.\)
D'où le tableau :
\(f\) est strictement croissante sur \(\left[ {0;12} \right]\) et strictement décroissante sur \(\left[ {12;18} \right]\), alors \(f(12)\) est le maximum \(f\) sur \(\left[ {0;18} \right]\).
La fonction \(f\) atteint donc sur \(\left[ {0;18} \right]\) le maximum en \(x = 12\).
3-a) Démontrons que le nombre de tirages donnant une dose de chaque firme est \(f(n)\)
On choisit une dose par firme A, B et C. Ces firmes ayant respectivement n , n et \(36 - 2n\) dose. Le tirage étant simultané, le nombre de tirages possibles donnant une dose de chaque firme est : 0,5 pt
\(C_n^1 \times C_n^1 \times \) \(C_{36n - 2n}^1 = \) \({n^2}\left( {36 - 2n} \right)\) \( = f(n)\)
3.b) Donnons l'expression de \(P(n)\) en fonction de \(f(n)\) et déterminons la valeur de \(n\) pour laquelle \(P(n)\) est maximale 1 pt
\(P(n)\) est la probabilité de tirer une dose de chaque firme.
\(P(n) = \) \(\frac{{C_n^1 \times C_n^1 \times C_{36n - 2n}^1}}{{C_{36}^3}}\) \( = \frac{{f(n)}}{{7140}}\)
La valeur de \(n\) qui rend \(P(n)\) maximale est la même que celle qui rend \(f(n)\) maximale. Et d'après la question 2, une telle valeur de \(n\) est 12.

Exercice 2

\(\left( {O;I,J} \right)\) est un repère orthonormé du plan. On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation
\(\left( E \right):{z^3} - \) \(\left( {6 + i\sqrt 3 } \right){z^2} + \) \(\left( {11 + 4i\sqrt 3 } \right)z\) \( - 6 - 3i\sqrt 3 = 0\)
1- Montrons que l'équation \(\left( E \right) \Leftrightarrow \) \(\left( {{z^2} - 4z + 3} \right)\) \(\left( {z - 2 - i\sqrt 3 } \right)\) \( = 0\)
En développant l’expression précédente, nous obtenons \(\left( E \right)\). D'où l’équivalence attendue. 0,5 pt
2. Résolvons dans c l'équation (E) 0,75 pt
\(\left( E \right) \Leftrightarrow \) \(\left( {{z^2} - 4z + 3} \right)\) \(\left( {z - 2 - i\sqrt 3 } \right)\) \( = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{z^2} - 4z + 3 = 0\\z = 2 + i\sqrt 3 \end{array} \right.\)
L'ensemble solution de l'équation \(\left( E \right)\) est donc \(\left\{ {1,3,2 + i\sqrt 3 } \right\}\).
3.a) On donne les points A, B, C et D d’affixes respectives \({{z_A} = 3}\), \({z_B} = 2 + i\sqrt 3 , \({{z_C} = 1}\) et \({z_D} = 11 + 4i\sqrt 3 \)
3) Démontrons me le triangle IAB est équilatéral 0,5 pt
3-a) Première approche:
\(IA = \) \(\left| {{z_A} - {z_I}} \right| = 2\)
\(IB = \) \(\left| {{z_B} - {z_I}} \right|\) \( = \left| {1 + i\sqrt 3 } \right|\) \( = 2\)
\(AB = \) \(\left| {{z_B} - {z_A}} \right| = \) \(\left| { - 1 + i\sqrt 3 } \right| = 2\)
D'où \(AI = IB\) \( = AB\)
IAB est donc un triangle équilatéral.
Deuxieme approche : On a : \(\frac{{{z_B} - {z_I}}}{{{z_A} - {z_I}}} = \) \(\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}\) \( = {e^{i\frac{\pi }{3}}}\). De cette relation, on a \(AI = IB\) et\(mes\left( {\widehat {\overrightarrow {IA} ,I\overrightarrow B }} \right)\) \( = {60^o}\), IAB est donc un triangle équilatéral.
3.b) Déterminons l’affixe du point \(F\) centre de la rotation et montrons que \(r(C) = D\) 1,5 pt
La rotation \(r\) a pour expression complexe \(z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z\) \( + 2\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \) \(\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i\)
comme \(F\) est le centre de\(r\), on a \(r(F) = F\).
D'où \({z_F} = 3 + 4i\)
On pourra remarquer à travers des calculs que \(r(C) \ne D\)
3.c) Donnons l'expression complexe de l’homothétie \(h\) telle \(h(I) = D\) et \(h(B) = C\)
L’homothétie \(h\) a pour expression complexe : \(z' = a + ib\) avec \(a \in \mathbb{R}\).
\(h(I) = D\) \( \Leftrightarrow az + b\) \( = 11 + 4i\sqrt 3 \) et \(a\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)\) \( + b = 7\). Ce qui donne \(a = - 4\) et \(b = 15 + 4i\sqrt 3 \) soit \(z' = - 4z + \) \(15 + 4i\sqrt 3 \) est l'expression complexe de \(h\).
3.d) Déterminons l'expression complexe de \(s = h^\circ r\)
\(r\) a pour expression complexe \(z' = \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z\) \( + 2\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \) \(\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i\) et celle de \(h\) est \(z' = - 4z + \) \(15 + 4i\sqrt 3 \) ; Celle de \(s = h^\circ r\) est donc
\(z' = - 4|\) \(\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z + \) \(2\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \) \(\left( {2 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)i| + \) \(15 + 4i\sqrt 3 = \) \(\left( { - 2 - 2i\sqrt 3 } \right)z\) \( + 9 - 8\sqrt 3 + i\) \(\left( { - 8 + 10\sqrt 3 } \right)\) 0,75 pt

Exercice 3

on donne \(h(x) = {e^{\frac{{x + 1}}{x}}}\) et \(k(x) = - x + \) \(x\ln x\) définies sur \(\left] {0, + \infty } \right[\)
1. Démontrons que l'équation \(k(x) = 1\) admet une unique solution \(a \in \left[ {3,4} \right]\) 1 pt
la fonction \(k\) est dérivable sur \(\left] {0, + \infty } \right[\) et \(k'(x) = \ln x\).
D'où \(k'(x) \succ 0\) pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[ {3,4} \right]\).
\(k\) est continue et strictement croissante sur \(\left[ {3,4} \right]\) avec 1 appartenant à
\(1 \in k\left( {\left[ {3,4} \right]} \right)\) \( = \left[ {k(3),k(4)} \right]\) \( = [ - 3 + 3\ln 3,\) \( - 4 + 4\ln 4]\), puisque -\( - 3 + 3\ln 3 = 0,29..\) et \( - 4 + 4\ln 4\) \( = 1,54...\).
L'équation \(k(x) = 1\) admet alors une unique solution \(a\) appartenant à l'intervalle \(\left[ {3,4} \right]\)..
2. Démontrons que \(k(x) = 1\) si et seulement si \(h(x) = x\)
Soit \(x \succ 0\), on a: \(k(x) = 1 \Leftrightarrow \) \( - x + x\ln x\) \( = 1 \Rightarrow \ln x\) \( = \frac{{x + 1}}{x}\)
\( \Rightarrow x = {e^{\frac{{x + 1}}{x}}}\) \( \Leftrightarrow h(x) = x\) 0,25 pt
Démontrons que si \(x \in \left[ {3,4} \right]\), alors \(h(x) \in \left[ {3,4} \right]\) 0,5 pt
Soit \(x \in \left[ {3,4} \right]\), \(h\) est une fonction dérivable sur \(\left[ {3,4} \right]\) et \(h'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}{e^{\frac{{x + 1}}{x}}}\) \( \prec 0\). \(h\) est donc strictement décroissante sur \(\left[ {3,4} \right]\)
De \(3 \le x \le 4\), on a \(h(4) \le h(x)\) \( \le h(3) \Rightarrow \) \(3,49 \le h(x)\) \( \le 3,80\) ainsi \(3 \le h(x) \le 4\)
3. Démontrons que \(\left| {h(x)} \right| \le \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in \left[ {3,4} \right]\)
On a \(h'(x) = - \) \(\frac{1}{{{x^2}}}h(x)\) et donc \(\left| {h'(x)} \right| = \) \(\frac{1}{{{x^2}}}h(x)\)
\(3 \le x \le 4\) \( \Rightarrow \frac{1}{{16}} \le \frac{1}{{{x^2}}}\) \( \le \frac{1}{9}\) et \(3 \le h(x) \le 4\) soit \(\frac{3}{{16}} \le \frac{1}{{{x^2}}}h(x)\) \( \le \frac{4}{9}\)
\(\frac{3}{{16}} \le \left| {h'(x)} \right|\) \( \le \frac{4}{9}\) ainsi \(\left| {h'(x)} \right| \le \frac{1}{2}\) car \(\frac{4}{9} \le \frac{1}{2}\) 0,5 pt
5. On donne la suite \(U\) définie par \({u_0} = 3\) et \({u_{n + 1}} = f({u_n})\) 0,5 pt
5.a) Démontrons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \in \left[ {3,4} \right]\)
Procédons par récurrence.
Au rang \(n = 0\), on a \({u_0} = 3\) appartenant à \(\left[ {3,4} \right]\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\), Supposons que \({u_n} \in \left[ {3,4} \right]\). On a d'après la question 3, on a \(h({u_n}) \in \left[ {3,4} \right]\). D'où \({u_{n + 1}} \in \left[ {3,4} \right]\)
Conclusion : Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \in \left[ {3,4} \right]\)
5.b) Démontrons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le \) \(\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \in \left[ {3,4} \right]\), et \(\left| {h'(x)} \right| \le \frac{1}{2}\), pour \(x\) appurtenant à \(\left[ {3,4} \right]\).
Des Inégalités des Accroissements Finis, on a \(\left| {h({u_{n + 1}}) - h(a)} \right|\) \( \le \frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\) . Or \({u_{n + 1}} = h({u_n})\) et \(h(a) = a\) car \(h(a) = 1\) donc \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le \) \(\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\)
5.c) Déduisons-en que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)
Procédons par récurrence.
Au rang \(n = 0\), on a \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| = \) \(\left| {{u_0} - a} \right| = \) \(\left| {3 - a} \right| \le \left| {3 - 4} \right|\) car \(a \in \left[ {3,4} \right]\)
D’où \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right|\) \( \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) pour \(n = 0\)
Soit \(n \in \mathbb{N}\), Supposons que \(\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)
D’apres la question 5.b) on a \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le \) \(\frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\) ce qui entraine \(\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| \le \) \(\frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} \le \) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\) d’où \(\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) 0,5 pt
5.d ) Démontrons que la suite \(u\) est convergente et déterminons sa limite
On a \(\left| {{u_n} - a} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) où la suite \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}\) converge vers 0; Par la propriété d'encadrement, on en déduit que \({\left( {{u_n}} \right)}\) converge vers a.

Partie B : Évaluation des compétences

Solutions
Déterminons les nombre d’animaux de cette réserve
On procèdera par les étapes suivantes :
n On étudie les variations de la fonction g définie sur \(\left[ { - 1; + \infty } \right[\) par : \(g(x) = {x^3} - \) \(3{x^2} + 4\). La fonction \(g\) est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). Sa dérivée est \(g'(x) = 3{x^2}\) \( - 6x = 3x\) \(\left( {x - 2} \right)\). Les solutions de
l'équation \(g'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). Le tableau de variation de g
On construit la courbe représentative (C) de g pour identifier les aires
Calculons les aires \({A_1}\),. \({A_2}\) et \({A_3}\) occupées respectivement par les macaques, les orang -outans et des chimpanzés en unités d’aires
\({A_1} = \int_{ - 1}^0 {g(x)dx} \) \( = \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ - 1}^0\) \( = \frac{{11}}{4}\), donc \({A_1} = 44\) km2
\({A_2} = \int_{ 0}^1 {g(x)dx} \) \( = \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ 0}^1\) \( = \frac{{13}}{4}\), donc \({A_2} = 52\) km2
\({A_3} = \int_{ 1}^2 {g(x)dx} \) \( = \left[ {\frac{1}{4}x4 - x3 + 4x} \right]_{ 1}^2\) \( = \frac{{3}}{4}\), donc \({A_3} = 12\) km2
On calcule le nombre d'animaux de la réserve en fonction des aires Le nombre de macaques est : \({N_1} = 15 \times 44\) \( = 660\)
Le nombre des orangs- outangs est: \({N_2} = 10 \times 52\) \( = 520\)
Le nombre de chimpanzés est de : \({N_3} = 12 \times 12\) \( = 144\)
Le nombre total d'animaux de la réserve est donc \({N_1} + {N_2} + \) \({N_3} = 1324\)
Déterminons le volume de vaccin nécessaire pour la troisième vaccination
Soient x, y et z le nombre respectif de macaques, des orangs outans et des chimpanzés qui doivent être vaccinés et soit D la troisième dose administrée aux animaux.
La première dose est traduite par la relation \(2x + y + \) \(3z = 1136\), \({E_1}\)
La deuxième dose est traduite par la relation : \(2x + 3y + \) \(4z = 1540\), \({E_2}\)
La troisième dose est traduite par la relation : \(2x + 5y + \) \(5z = D\), \({E_3}\)
En effectuant la différence \({E_1} - {E_2}\), on obtient la relation : \(2y + z = 404\)
En effectuant la différence \({E_3} - {E_2}\), on obtient la relation : \(2y + z = \) \(D - 1540\)
De ces deux dernières relations, \(D = 1944\). La dose cherchée est donc \(D = 1,944\) L
Déterminons la probabilité pour que le chimpanzé choisi soit atteint de la maladie \({M_2}\)
On note \(\overline {{M_1}} \) l'évènement : ne pas avoir la maladie \({{M_1}}\). Les probabilités sonnées sont les suivantes :
\(p\left( {{M_1}} \right) = \frac{{15}}{{100}}\)
\(p\left( {{M_2}/{M_1}} \right) = \frac{{20}}{{100}}\)
\(p\left( {{M_2}/\overline {{M_1}} } \right) = \frac{4}{{100}}\)
\({M_2} = \) \(\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right) \cup \) \(\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)\) ou \(\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)\) et \(\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right)\) sont disjoints
On a la probabilité \(p\left( {{M_2}} \right) = \) \(p\left( {{M_1} \cap {M_2}} \right)\) \( + p\left( {\overline {{M_1}} \cap {M_2}} \right)\)
\(p\left( {{M_2}} \right) = \frac{{20}}{{100}} \times \) \(\frac{{15}}{{100}} + \frac{4}{{100}} \times \) \(\frac{{85}}{{100}} = \frac{{640}}{{10000}}\) \( = 0,064\)