Vote utilisateur: 5 / 5

Etoiles activesEtoiles activesEtoiles activesEtoiles activesEtoiles actives
 
Probatoire
Mathématique
D & TI
2021
Correction
Bonjour ! Camerecole a un compte TikTok, suivez le lien si vous préférez des cours en vidéo

Partie A : Évaluation des ressources

Exercice 1

1.a) Construisons le rectangle ABCD et plaçons le point O 0,5 pt
rectangleb) Démontrons que : 24MA+12MB24MA+12MB +12MD=12AC+12MD=12AC 0,5 pt
D’après la relation de Chasles AD=BCAD=BC
24MA+12MB24MA+12MB +12MD=24MA+12MD=24MA +12(MA+AB)+12(MA+AB) +12(MA+AD)=+12(MA+AD)= 12(AB+BC)=12(AB+BC)= 12AC12AC
c) Démontrons que : MA2+MB2MA2+MB2 +MC2+MD2+MC2+MD2 =4OM2+AC2=4OM2+AC2 1 pt
O est le milieu du segment [AC] ; on a: MA2+MC2MA2+MC2 =2OM2+OA2=2OM2+OA2 +OC2(1)+OC2(1)
O est le milieu du segment [BD] ; on a : MB2+MD2MB2+MD2 =2OM2+OB2=2OM2+OB2 +OD2(2)+OD2(2)
En effectuant la somme (1) +(2) et en utilisant le fait que OA=OBOA=OB =OD=OD
MA2+MB2+MA2+MB2+ MC2+MD2=MC2+MD2= 4OM2+4OA24OM2+4OA2 =4OM2+AC2=4OM2+AC2 car AC=2OAAC=2OA
2. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ()() 1 pt
MA2+MB2+MA2+MB2+ MC2+MD2=||MC2+MD2=|| 24MA+12MB+24MA+12MB+ 12MD||12MD||
M()M() 4OM2+AC24OM2+AC2 =12AC=12AC
M()M() 4OM2=4OM2= 12ACAC212ACAC2 avec AC2=AD2AC2=AD2 +DC2+DC2 =100=100 AC=10AC=10
M()4OM2M()4OM2 =12×10100=12×10100 =20=20
M()M() OM=5OM=5, Donc ()() décrit le cercle de centre O et de rayon 55

Exercice 2

1) Justifions que l'ensemble de définition de ff est : Df=Df= ],0[],0[ ]0,+[]0,+[ et déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition. 1,25 pt
f(x)f(x) existe si et seulement si xR et x0.
Donc Df=R{0}, ou encore Df=],0[]0,+[
limxf(x) =limx(x2) +
limx+f(x)= limx+(x2)
limx0f(x)= limx0(2x)
limx0+f(x)= limx0+(2x)+
2) Que peut-on dire de la droite d'équation x=0 ? 0,25 pt
La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale à la courbe de f . 0,25 pt
3) Justifions que la droite d'équation y=x2 est asymptote à la courbe de f en + et en 0,5 pt
limx(f(x)2x) =0
limx+(f(x)2x) =0
La droite d'équation y=x2 est asymptote à la courbe de f en et en +.
4) Déterminons f(x) pour x0, son signe et le tableau des variations de f.
f(x)= (12+2x2). Or pour tout x0, (12+2x2)0
On conclut que pour x0 , f(x)0 . Donc la fonction f est strictement décroissante sur ],0[ et sur ]0,+[. Le tableau de variation de f est :
tableau variation 20215) Démontrons que l'origine O du repère est centre de symétrie à la courbe de f. 0,5 pt
Pour tout xR{0}}, on a f(x)=f(x). Donc, f est une fonction impaire et par conséquent l'origine O du repère est centre de symétrie à (Cf)
6) Traçons avec soin la courbe de f.
fonction probatoire d 2021

Exercice 3

1) Démontrons que cosπ12cos5π12 +sinπ12sin5π12=12
En effet :
cosπ12cos5π12+ sinπ12sin5π12= cos(π125π12) =cos(4π12) =cos(π3) =12 0,5 pt
cosπ12cos5π12 sinπ12sin5π12= cos(π12+5π12) =cos(6π12) =cos(π2) =0 0,5 pt
2) Déduisons-en que la valeur exacte de cosπ12cos5π12 est 14
En faisant la somme des deux relations précédentes, on obtient : 2cosπ12cos5π12 =12 soit cosπ12cos5π12=14 0,5 pt
3) Résolvons dans l'intervalle [0,2π[ l'équation cosπ12cosx=14 1,5 pt
cosπ12cosx =14 cosπ12cosx =cosπ12cos5π12
cosπ120 alors cosx=cos5π12 x=5π12+2kπ ou x=5π12+2kπ avec kZ
• Pour x=5π12+2kπ, la solution qui est contenue dans [0,2π[est x=5π12
Pour x=5π12+2kπ la solution qui est contenue dans [0,2π[ est x=19π12.
L'ensemble solution est S={5π12,19π12}
4) Résolvons dans l'intervalle [0,2π[ l’inéquation cosx cos5π120
cosxcos5π12=0 dans l’intervalle [0,2π[ a pour solution x=5π12 ou x=19π12. Par la suite, on dresse le tableau de signes de cosxcos5π12
tableau de signeAu vu de ce tableau de signes, la solution de l’inéquation est S=[0,5π12[]19π12,2π[ 1 pt

Exercice :4

1) Déterminons le poids moyen de ces lapins 0,75 pt

Poids des lapins [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[  [3, 4[ Total
Effectifs (ni) 10 15 20 5 50
Centres (ci)  0,5 1,5  2,5 3,5  
ni×ci  5 22,5 50 17,5  95
ECD  50 40  25 5  

ECD : effectifs cumulés décroissants
Le poids moyen des lapins est : ¯x=150 4i=1ni×ci= 9550=1,9kg
2) Construction du polygone des effectifs cumulés décroissants 1, 5 pteffectif cummules3) Déterminons la médiane de cette série statistique 0,75 pt
Graphiquement, on voit nue la médiane Me = 2

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

1. Déterminons la façon dont on doit choisir le nombre d'ordinateurs à assembler mensuellement pour ne pas fonctionner à perte.
Soit x le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d'un mois. On définit les charges liées à la production par : P(x)=1120+ 0,00007x2 et le montant de la vente des ordinateurs est : V(x)=0,7x :
Le bénéfice obtenu est : B(x)=V(x) P(x)= 0,00007x2+ 0,7x1120
Comme le bénéfice doit être positif, on a donc 0,00007x2+ 0,7x11200
• On résous l'équation : 0,00007x2+ 0,7x1120=0
Soit {x1=8000x2=2000
On dresse un tableau de signes de B(x)=0,00007x2 +0,7x1120=0
Image tableau de valeur
On doit donc choisir la production du nombre d'ordinateurs entre 2000 et 8000 ordinateurs Dour que l'entreprise ne tourne pas à perte
2. Déterminons le nombre d'ordinateurs que cet industriel doit produire mensuellement pour réaliser un bénéfice maximal ?
soit x le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d’un mois. On a définit la fonction bénéfice par : B(x)=0,00007x2 +0,7x1120
B est une fonction dérivable sur R et sa dérivée est : B(x)=0,00014x +0,7
B(x)=0 x=0,70,00014 =5000. Ainsi
Si x est contenu dans l'intervalle [2000, 5000] le bénéfice est croissante et si x est contenu dans l'intervalle [5000, 8000] le bénéfice est décroissant. Le nombre d’ordinateurs qui rend le bénéfice maximal est atteint pour la vente de 5000 ordinateurs.
3. Déterminons la capacité de production journalière des composantes MOS
• Pour fabriquer la première composante, le temps mis est : t1=3 min = 180s ;
• Pour fabriquer la deuxième composante. le temps mis est : t2 = 3 min 2s = (180+2 ) s ;
• Pour fabriquer la troisième composante, le temps mis est : t3 = 3 min 4s = (180+4 ) s ;
De proche en proche, on construit une suite arithmétique (tn) de premier terme 180s et de raison r=2 et de terme général tn=180+2(n1) avec n1
Or tn=3h59min =14340s, On a donc : tn=180+ 2(n1)= 14340s n=7081
On conclut que la production journalière est de 7081 composants.