Partie A : Évaluation des ressources
Exercice 1
1.a) Construisons le rectangle ABCD et plaçons le point O 0,5 ptb) Démontrons que : −24→MA+12→MB−24−−→MA+12−−→MB +12→MD=12→AC+12−−→MD=12−−→AC 0,5 pt
D’après la relation de Chasles →AD=→BC−−→AD=−−→BC
−24→MA+12→MB−24−−→MA+12−−→MB +12→MD=−24→MA+12−−→MD=−24−−→MA +12(→MA+→AB)+12(−−→MA+−−→AB) +12(→MA+→AD)=+12(−−→MA+−−→AD)= 12(→AB+→BC)=12(−−→AB+−−→BC)= 12→AC12−−→AC
c) Démontrons que : MA2+MB2MA2+MB2 +MC2+MD2+MC2+MD2 =4OM2+AC2=4OM2+AC2 1 pt
O est le milieu du segment [AC] ; on a: MA2+MC2MA2+MC2 =2OM2+OA2=2OM2+OA2 +OC2(1)+OC2(1)
O est le milieu du segment [BD] ; on a : MB2+MD2MB2+MD2 =2OM2+OB2=2OM2+OB2 +OD2(2)+OD2(2)
En effectuant la somme (1) +(2) et en utilisant le fait que OA=OBOA=OB =OD=OD
MA2+MB2+MA2+MB2+ MC2+MD2=MC2+MD2= 4OM2+4OA24OM2+4OA2 =4OM2+AC2=4OM2+AC2 car AC=2OAAC=2OA
2. Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (∑)(∑) 1 pt
MA2+MB2+MA2+MB2+ MC2+MD2=||−MC2+MD2=||− 24→MA+12→MB+24−−→MA+12−−→MB+ 12→MD||12−−→MD||
M∈(∑)⇔M∈(∑)⇔ 4OM2+AC24OM2+AC2 =12AC=12AC
M∈(∑)⇔M∈(∑)⇔ 4OM2=4OM2= 12AC−AC212AC−AC2 avec AC2=AD2AC2=AD2 +DC2+DC2 =100⇒=100⇒ AC=10AC=10
M∈(∑)⇔4OM2M∈(∑)⇔4OM2 =12×10−100=12×10−100 =20=20
M∈(∑)⇔M∈(∑)⇔ OM=√5OM=√5, Donc (∑)(∑) décrit le cercle de centre O et de rayon √5√5
Exercice 2
1) Justifions que l'ensemble de définition de ff est : Df=Df= ]−∞,0[∪]−∞,0[∪ ]0,+∞[]0,+∞[ et déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition. 1,25 pt
f(x)f(x) existe si et seulement si x∈R et x≠0.
Donc Df=R−{0}, ou encore Df=]−∞,0[∪]0,+∞[
• limx→−∞f(x) =limx→−∞(−x2) →+∞
• limx→+∞f(x)= limx→+∞(−x2) →−∞
• limx→0−f(x)= limx→0−(2x)→−∞
• limx→0+f(x)= limx→0+(2x)→+∞
2) Que peut-on dire de la droite d'équation x=0 ? 0,25 pt
La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale à la courbe de f . 0,25 pt
3) Justifions que la droite d'équation y=−x2 est asymptote à la courbe de f en +∞ et en −∞ 0,5 pt
• limx→−∞(f(x)−2x) =0
• limx→+∞(f(x)−2x) =0
La droite d'équation y=−x2 est asymptote à la courbe de f en −∞ et en +∞.
4) Déterminons f′(x) pour x≠0, son signe et le tableau des variations de f.
f′(x)=− (12+2x2). Or pour tout x≠0, (12+2x2)≻0
On conclut que pour x≠0 , f′(x)≺0 . Donc la fonction f est strictement décroissante sur ]−∞,0[ et sur ]0,+∞[. Le tableau de variation de f est :5) Démontrons que l'origine O du repère est centre de symétrie à la courbe de f. 0,5 pt
Pour tout x∈R−{0}}, on a f(−x)=−f(x). Donc, f est une fonction impaire et par conséquent l'origine O du repère est centre de symétrie à (Cf)
6) Traçons avec soin la courbe de f.
Exercice 3
1) Démontrons que cosπ12cos5π12 +sinπ12sin5π12=12
En effet :
• cosπ12cos5π12+ sinπ12sin5π12= cos(π12−5π12) =cos(−4π12) =cos(−π3) =12 0,5 pt
• cosπ12cos5π12− sinπ12sin5π12= cos(π12+5π12) =cos(6π12) =cos(π2) =0 0,5 pt
2) Déduisons-en que la valeur exacte de cosπ12cos5π12 est 14
En faisant la somme des deux relations précédentes, on obtient : 2cosπ12cos5π12 =12 soit cosπ12cos5π12=14 0,5 pt
3) Résolvons dans l'intervalle [0,2π[ l'équation cosπ12cosx=14 1,5 pt
cosπ12cosx =14⇔ cosπ12cosx =cosπ12cos5π12
cosπ12≠0 alors cosx=cos5π12 ⇒x=5π12+2kπ ou x=−5π12+2kπ avec k∈Z
• Pour x=5π12+2kπ, la solution qui est contenue dans [0,2π[est x=5π12
Pour x=−5π12+2kπ la solution qui est contenue dans [0,2π[ est x=19π12.
L'ensemble solution est S={5π12,19π12}
4) Résolvons dans l'intervalle [0,2π[ l’inéquation cosx− cos5π12≻0
cosx−cos5π12=0 dans l’intervalle [0,2π[ a pour solution x=5π12 ou x=19π12. Par la suite, on dresse le tableau de signes de cosx−cos5π12Au vu de ce tableau de signes, la solution de l’inéquation est S=[0,5π12[∪]19π12,2π[ 1 pt
Exercice :4
1) Déterminons le poids moyen de ces lapins 0,75 pt
Poids des lapins | [0, 1[ | [1, 2[ | [2, 3[ | [3, 4[ | Total |
Effectifs (ni) | 10 | 15 | 20 | 5 | 50 |
Centres (ci) | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | |
ni×ci | 5 | 22,5 | 50 | 17,5 | 95 |
ECD | 50 | 40 | 25 | 5 |
ECD : effectifs cumulés décroissants
Le poids moyen des lapins est : ¯x=150 ∑4i=1ni×ci= 9550=1,9kg
2) Construction du polygone des effectifs cumulés décroissants 1, 5 pt3) Déterminons la médiane de cette série statistique 0,75 pt
Graphiquement, on voit nue la médiane Me = 2
Partie B : Évaluation des compétences (5 points)
1. Déterminons la façon dont on doit choisir le nombre d'ordinateurs à assembler mensuellement pour ne pas fonctionner à perte.
Soit x le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d'un mois. On définit les charges liées à la production par : P(x)=1120+ 0,00007x2 et le montant de la vente des ordinateurs est : V(x)=0,7x :
Le bénéfice obtenu est : B(x)=V(x)− P(x)= −0,00007x2+ 0,7x−1120
Comme le bénéfice doit être positif, on a donc −0,00007x2+ 0,7x−1120≥0
• On résous l'équation : −0,00007x2+ 0,7x−1120=0
Soit {x1=8000x2=2000
On dresse un tableau de signes de B(x)=−0,00007x2 +0,7x−1120=0
Image tableau de valeur
On doit donc choisir la production du nombre d'ordinateurs entre 2000 et 8000 ordinateurs Dour que l'entreprise ne tourne pas à perte
2. Déterminons le nombre d'ordinateurs que cet industriel doit produire mensuellement pour réaliser un bénéfice maximal ?
soit x le nombre d'ordinateurs produit et vendu au cours d’un mois. On a définit la fonction bénéfice par : B(x)=−0,00007x2 +0,7x−1120
B est une fonction dérivable sur R et sa dérivée est : B′(x)=−0,00014x +0,7
B′(x)=0 ⇒x=0,70,00014 =5000. Ainsi
Si x est contenu dans l'intervalle [2000, 5000] le bénéfice est croissante et si x est contenu dans l'intervalle [5000, 8000] le bénéfice est décroissant. Le nombre d’ordinateurs qui rend le bénéfice maximal est atteint pour la vente de 5000 ordinateurs.
3. Déterminons la capacité de production journalière des composantes MOS
• Pour fabriquer la première composante, le temps mis est : t1=3 min = 180s ;
• Pour fabriquer la deuxième composante. le temps mis est : t2 = 3 min 2s = (180+2 ) s ;
• Pour fabriquer la troisième composante, le temps mis est : t3 = 3 min 4s = (180+4 ) s ;
De proche en proche, on construit une suite arithmétique (tn) de premier terme 180s et de raison r=2 et de terme général tn=180+2(n−1) avec n≥1
Or tn=3h59min =14340s, On a donc : tn=180+ 2(n−1)= 14340s⇒ n=7081
On conclut que la production journalière est de 7081 composants.