Correction exercice I Epreuve physique baccalauréat D et TI 2016

Exercice 1: Mouvements dans les champs de forces et leurs applications.
1.1. Mouvement dans le champ de pesanteur

a) Expression de l’accélération de la bille sur le plan inclinéD’après le théorème du centre d’inertie
$\overrightarrow R + \overrightarrow P = m\overrightarrow {{a_G}}$$\Rightarrow$$\overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right. +$$\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}mg\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.$$= m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{a_G}\\0\end{array} \right.$ $${a_G} = g\sin (\alpha )$$
b) Équation horaire des oscillations:
$\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = g\sin (\alpha )\\{a_{Gy}} = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow {{v_G}} \left| \begin{array}{l}{v_x} = g\sin (\alpha )t\\{v_y} = 0\end{array} \right.$ soit $\overrightarrow {OG} \left| \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}g\sin (\alpha ){t^2}\\y = 0\end{array} \right.$
c) Expression de d en fonction de g, n et $\alpha$
$t = n$ $\Rightarrow$ ${x_n} =$ $\frac{1}{2}g\sin (\alpha ).n$
$t = n + 1$$\Rightarrow$${x_{n + 1}} =$$\frac{1}{2}g\sin (\alpha )$$.{(n + 1)^2}$
A la nième seconde, on a : Δt=n+1-n=1s avec Δx=d=x_n+1-x_n
$d =$$\frac{1}{2}g\sin (\alpha )(2n + 1)$
Calcule de l’angle $\alpha$ : $\sin (\alpha ) =$$\frac{{2d}}{{g(2n + 1)}}$  $$\alpha = {\sin ^{ - 1}}(\frac{{2d}}{{g(2n + 1)}})$$
1.2 Mouvement d’une particule dans un champ électrique uniforme
a) Schéma de la situationb) Vitesse de la particule au point S
D’après le TCI ; $\sum {{{\overrightarrow F }_{EXT}} = q\overrightarrow E = m\overrightarrow {{a_G}} }$ Dans le repère x’ox
$\overrightarrow {{a_G}} \left\{ \begin{array}{l}{a_x} = 0\\{a_y} = \left| q \right|\frac{E}{m}\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow {{v_G}} \left\{ \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} = \frac{{\left| q \right|E}}{m}t + {v_0}\sin (\alpha )\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $$\overrightarrow {OG} \left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}\cos (\alpha )t\\y = \frac{1}{2}\frac{{\left| q \right|E}}{m}{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )t\end{array} \right.$$
Au point S, x=L, alors : $L = {v_0}\cos (\alpha )t$$\Rightarrow$ $t = \frac{L}{{{v_0}\cos (\alpha )}}$ avec ${v_S} = \sqrt {v_x^2 + v_y^2}$ $= ({({v_0}\cos (\alpha ))^2} +$$(\frac{{\left| q \right|E}}{m}\frac{L}{{{v_0}\cos (\alpha )}}$$+ {v_0}\sin (\alpha ){)^2}{)^{\frac{1}{2}}}$