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Partie A : Évaluation des ressources : 15 pts

EXERCICE 1 : 5 pts

1. Donnons la forme algébrique de Z :
\(Z = \frac{{z + i}}{{z - i}} = \) \(\frac{{x + iy + i}}{{x + iy - i}} = \) \(\frac{{x + iy + i}}{{x + iy - i}} = \) \( + i\frac{{2x}}{{{x^2} + \left( {y - 1} \right)}}\)
2. Déterminons l’ensemble des points M pour que Z soit imaginaire
Z imaginaire \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} - 1 = 0}\\ {\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;1} \right)} \end{array}} \right.\) donc l’ensemble des points M est le cercle de centre O et de rayon 1, privé du point J 0, 75 pt
3.a) Calculons \({\left( {1 - i} \right)^2}\) 0,25 pt
\({\left( {1 - i} \right)^2} = - 2i\)
3.b) Résolvons dans C l’équation (E) : \(i{z^2} + \left( {1 + i} \right)z\) \( + 1 = 0\)
\(\Delta = - 2i = \) \({\left( {1 - i} \right)^2}\) les solutions sont \({z_1} = i\), \({z_2} = - 1\) et ensemble solution est \(S = \left\{ {i; - 1} \right\}\) 0,75pt
4.a) Déterminons l’expression complexe de S
On a \(S: z' = az\) avec \(\;a = \frac{{{z_B}}}{{{z_A}}} = \) \( = \frac{{ - 3}}{{4i}} = \frac{3}{4}i\) donc S: \(z' = \frac{3}{4}iz\) 0,5 pt
4.b) Déduisons-en son rapport et son angle : \(\left| {\frac{3}{4}i} \right| = \frac{3}{4}\;\)
et \(\arg \left( {\frac{3}{4}i} \right) = \frac{\pi }{2}\) donc le rapport est \(\frac{3}{4}\) et l’angle \(\frac{\pi }{2}\) 0,5 pt
5.a) On donne \(u = 1 + i\) et \(v = \sqrt 3 + i\)
Donnons les formes trigonométriques de \(u\) et \(v\) 0,5 pt
• \(u = 1 + i = \) \(\sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)\)
• \(v = 2\) \(\left( {cos\frac{\pi }{6} + isin\frac{\pi }{6}} \right)\)
5.b) Donnons la forme trigonométrique et la forme algébrique de \(w = \frac{u}{v}\)
Forme trigonométrique :
\(w = \frac{u}{v} = \) \(\frac{{\sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)}}{{2\left( {cos\frac{\pi }{6} + isin\frac{\pi }{6}} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (\({\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) + }\) \({isin\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right)}\) ) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\left( {cos\frac{\pi }{{12}} + isin\frac{\pi }{{12}}} \right)\).
Forme algébrique :
\(w = \frac{u}{v} = \) \(\frac{{1 + i\;\;}}{{\sqrt 3 + i}} = \) \(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{4} + \) \(i\frac{{\sqrt 3 - 1}}{4}\) 0,5 pt
5.c) Déduisons-en les valeurs exactes de \(\cos \frac{\pi }{{12}}\) et de \(\sin \frac{\pi }{{12}}\) 0,5 pt
En exploitant les deux écritures de W on a :
\(cos\frac{\pi }{{12}} = \) \(\frac{{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{4}{\rm{\;}}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) \( = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\)
\(sin\frac{\pi }{{12}} = \) \(\frac{{\frac{{\sqrt 3 - 1}}{4}{\rm{\;}}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) \( = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\)

Exercice 2 : 3 pts

1. Représentons le nuage de points 1,25 pt
2. Coordonnées des points \(G_1\) et \(G_2\) 0,5 pt
\({G_1}\) \(\left( {\frac{{1 + 2 + 3}}{3}\;;\;\frac{{25 + 30 + 40}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow {G_1}\left( {2\;;\;\frac{{95}}{3}} \right)\)
\({G_2}\) \(\left( {\frac{{4 + 5}}{2}\;;\;\frac{{38 + 50}}{2}} \right)\) \( \Rightarrow {G_2}\left( {4,5\;;44} \right)\)
3. Une équation de la droite d’ajustement de Mayer 0,75 pt
Il s’agit de la droite \(\left( {{G_1}{G_2}} \right)\) \(y = ax + b\) avec \(a = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}}\) et \(b = {y_2} - a{x_2}\)
\(a = \) \(\frac{{\frac{{95}}{3} - 44}}{{2 - 4,5}}\) \( = \frac{{74}}{{15}}\;\;\) et \(\;b = 44 - \) \(\frac{{74}}{{15}} \times 4,5 = \) \(21,8\) d’où \(\left( {{G_1}{G_2}} \right)\;:y\) \( = \frac{{74}}{{15}}x + 21,8\)
4. Expression de sa production à sa 6ème année 0,5 pt
\(y = \frac{{74}}{{15}} \times 6\) \( + 21,8 = 51,4\;kg\)

Exercice 3 : 4 pts

On donne \(g\left( x \right) = \) \(\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}\)
1. Calculons \(g'\left( x \right)\) et précisons le sens de variations 1,25 pt
\(\forall x \in R,\;\) \(g'\left( x \right) = {e^{ - x}}\) \( - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}}\) \( = - \left( {x - 2} \right){e^{ - x}}\)
\(g'\left( x \right)\) est du signe de \( - \left( {x - 2} \right)\)
\(g\) est strictement croissante sur \(\left] { - \infty ;2} \right]\) et strictement décroissante sur \(\left[ {2; + \infty } \right[\).
2.a) Calcul des limites : 0,5 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \;\;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\)
2.b) Déduisons une équation de l’asymptote horizontale 0,25 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\)
On en déduit que la droite d’équation \(y=0\) est asymptote horizontale à la courbe de g en \({ + \infty }\)
3. Tableau de variations
4. Traçons la courbe de g et son asymptote 0,5 pt
5. Montrons que \(g\) réalise une bijection de \(\left[ {2; + \infty } \right[\) vers \(K\), intervalle à déterminer. 0,75 pt
La fonction \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(\left[ {2; + \infty } \right[\) donc réalise une bijection de \(\left[ {2; + \infty } \right[\) vers \(\left] {0;{e^{ - 2}}} \right]\).

Exercice 4 : 3 pts

I. On considère la suite \(\left( {{U_n}} \right)\) définie par \({U_n} = {\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n}\)
1. Montrons que pour tout \(n \in N ;{U_n} > 0\)
Pour tout entier naturel n on a \(\frac{{2 + n}}{e} \succ 0\), donc \({\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n} \succ 0\) c’est-à-dire \({U_n} > 0\)
2a) Montrons que pour tout \(n \in N\), \(\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} = \) \({\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times \) \(\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)\)
\(n \in N\),
\(\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} = \) \(\frac{{{{\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}^n}}}\) \( = \) \(\frac{{{{\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}^n} \times \left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}^n}}}\) \( = \) \({\left( {\frac{{\frac{{2 + n}}{e}}}{{\frac{{1 + n}}{e}}}} \right)^n} \times \) \(\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right) = \) \({\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times \) \(\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)\)
d’où le résultat
2.b) Montrons que pour tout \(n \ge 1,\) \(\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} > 1\)
En effet, \(\frac{{2 + n}}{{1 + n}} > 1\) et \(\frac{{2 + n}}{e} > 1\) pour tout entier naturel n différent de 0
Donc \({\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times \) \(\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right) > 1 \times 1\) C'est-à-dire \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) 0,5 pt
2.c) Déduisons que \((U_n )\) est croissante
En effet, d’après 2.b) \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) ce qui implique \({u_{n + 1}} > {u_n}\) car \({u_n} > 0\)
Donc \((u_n)\) est croissante 0, 5pt
2. Calculons la limite de cette suite 0,25 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n}\) \( = \) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {e^{nln\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}} = + \infty \)
II. Supposons \(g\) croissante sur \(E\) et \({U_n} \in E\), Montrons que donc \({u_{n + 1}} - {u_n}\) et \(g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)\) sont de même signe.
Tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle E sur lequel \(g\) est croissante ; \(g\) étant croissante, pour tout couple \((x ,x’)\) de E on a \(\frac{{g\left( x \right) - g\left( {x'} \right)}}{{x - x'}} \ge 0\) ainsi pour tout entier naturel \(n\), on a \(\frac{{g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)}}{{{u_{n + 1}} - {u_n}}}\) \( \ge 0\) donc \({{u_{n + 1}} - {u_n}}\) et \({g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)}\) sont de même signe.

Partie B : Évaluation des compétences 5 pts

Tâche 1 : Calcul de la probabilité de chacune des équipes des poules P1 et P3 de passer au second tour 1,5 pt
Pour les équipes de P1 :
\(\;P\left( {{E_1}} \right) = 0,5\)
or \(P\left( {{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)\) \( + P\left( {{E_3}} \right) + P\left( {{E_4}} \right)\) \( = 1\;\) avec \(P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right)\) \( = P\left( {{E_4}} \right)\)
D’où \(P\left( {{E_2}} \right) = \) \(P\left( {{E_3}} \right) = P\left( {{E_4}} \right)\) \( = \frac{{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{1}{6}\)
Pour les équipes de P3
\(P\left( {{E_9}} \right) + \) \(P\left( {{E_{10}}} \right) + \) \(P\left( {{E_{11}}} \right) + P\left( {{E_{12}}} \right)\) \( = 1\;\) or \(P\left( {{E_9}} \right) = P\left( {{E_{10}}} \right)\) \( = P\left( {{E_{11}}} \right) = P\left( {{E_{12}}} \right)\)
Donc
\(P\left( {{E_9}} \right) = P\left( {{E_{10}}} \right)\) \( = P\left( {{E_{11}}} \right) = P\left( {{E_{12}}} \right)\) \( = \frac{1}{4}\)

Tâche 2 :
Calcul du nombre de poignées de mains effectuées pendant le 1er tour pour traduire le fair-play (nous allons supposer que chaque équipe débute le match ayant un effectif de 11 joueurs)
• Nombre de poignés de mains par match : \(11 \times 11 = 121\)
• Nombre de matches du 1er tour : \(6 \times C_4^2 = 36\)
Nombre total de poignées de mains \(121 \times 36 = 4356\) poignées de mains

Tâche 3 :
Calcul de la moyenne de buts marqués au 2nd tour :
Soit \(y\) le nombre de buts au 2nd tour et \(x\) le nombre de buts pendant les autres tours
On a le système suivant : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 156}\\ {x - 3y = 0} \end{array}} \right.\;\) \( \Leftrightarrow x = 117\) et \(y = 39\).
Au deuxième tour, on a comptabilisé 2×6+4=16 équipes qualifiées, soit 8 matchs au second tour Ainsi,
\(M = \frac{{39}}{8} \approx \) \(4,875\). buts en moyenne par match