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Partie A : Évaluation des ressources : 15 pts

EXERCICE 1 : 5 pts

1. Donnons la forme algébrique de Z :
$Z = \frac{{z + i}}{{z - i}} =$ $\frac{{x + iy + i}}{{x + iy - i}} =$ $\frac{{x + iy + i}}{{x + iy - i}} =$ $+ i\frac{{2x}}{{{x^2} + \left( {y - 1} \right)}}$
2. Déterminons l’ensemble des points M pour que Z soit imaginaire
Z imaginaire $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} - 1 = 0}\\ {\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;1} \right)} \end{array}} \right.$ donc l’ensemble des points M est le cercle de centre O et de rayon 1, privé du point J 0, 75 pt
3.a) Calculons ${\left( {1 - i} \right)^2}$ 0,25 pt
${\left( {1 - i} \right)^2} = - 2i$
3.b) Résolvons dans C l’équation (E) : $i{z^2} + \left( {1 + i} \right)z$ $+ 1 = 0$
$\Delta = - 2i =$ ${\left( {1 - i} \right)^2}$ les solutions sont ${z_1} = i$, ${z_2} = - 1$ et ensemble solution est $S = \left\{ {i; - 1} \right\}$ 0,75pt
4.a) Déterminons l’expression complexe de S
On a $S: z' = az$ avec $\;a = \frac{{{z_B}}}{{{z_A}}} =$ $= \frac{{ - 3}}{{4i}} = \frac{3}{4}i$ donc S: $z' = \frac{3}{4}iz$ 0,5 pt
4.b) Déduisons-en son rapport et son angle : $\left| {\frac{3}{4}i} \right| = \frac{3}{4}\;$
et $\arg \left( {\frac{3}{4}i} \right) = \frac{\pi }{2}$ donc le rapport est $\frac{3}{4}$ et l’angle $\frac{\pi }{2}$ 0,5 pt
5.a) On donne $u = 1 + i$ et $v = \sqrt 3 + i$
Donnons les formes trigonométriques de $u$ et $v$ 0,5 pt
• $u = 1 + i =$ $\sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)$
• $v = 2$ $\left( {cos\frac{\pi }{6} + isin\frac{\pi }{6}} \right)$
5.b) Donnons la forme trigonométrique et la forme algébrique de $w = \frac{u}{v}$
Forme trigonométrique :
$w = \frac{u}{v} =$ $\frac{{\sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)}}{{2\left( {cos\frac{\pi }{6} + isin\frac{\pi }{6}} \right)}}$ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (${\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) + }$ ${isin\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right)}$ ) $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\left( {cos\frac{\pi }{{12}} + isin\frac{\pi }{{12}}} \right)$.
Forme algébrique :
$w = \frac{u}{v} =$ $\frac{{1 + i\;\;}}{{\sqrt 3 + i}} =$ $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{4} +$ $i\frac{{\sqrt 3 - 1}}{4}$ 0,5 pt
5.c) Déduisons-en les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi }{{12}}$ et de $\sin \frac{\pi }{{12}}$ 0,5 pt
En exploitant les deux écritures de W on a :
$cos\frac{\pi }{{12}} =$ $\frac{{\frac{{\sqrt 3 + 1}}{4}{\rm{\;}}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ $= \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}$
$sin\frac{\pi }{{12}} =$ $\frac{{\frac{{\sqrt 3 - 1}}{4}{\rm{\;}}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ $= \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}$

Exercice 2 : 3 pts

1. Représentons le nuage de points 1,25 pt
2. Coordonnées des points $G_1$ et $G_2$ 0,5 pt
${G_1}$ $\left( {\frac{{1 + 2 + 3}}{3}\;;\;\frac{{25 + 30 + 40}}{3}} \right)$ $\Rightarrow {G_1}\left( {2\;;\;\frac{{95}}{3}} \right)$
${G_2}$ $\left( {\frac{{4 + 5}}{2}\;;\;\frac{{38 + 50}}{2}} \right)$ $\Rightarrow {G_2}\left( {4,5\;;44} \right)$
3. Une équation de la droite d’ajustement de Mayer 0,75 pt
Il s’agit de la droite $\left( {{G_1}{G_2}} \right)$ $y = ax + b$ avec $a = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}}$ et $b = {y_2} - a{x_2}$
$a =$ $\frac{{\frac{{95}}{3} - 44}}{{2 - 4,5}}$ $= \frac{{74}}{{15}}\;\;$ et $\;b = 44 -$ $\frac{{74}}{{15}} \times 4,5 =$ $21,8$ d’où $\left( {{G_1}{G_2}} \right)\;:y$ $= \frac{{74}}{{15}}x + 21,8$
4. Expression de sa production à sa 6ème année 0,5 pt
$y = \frac{{74}}{{15}} \times 6$ $+ 21,8 = 51,4\;kg$

Exercice 3 : 4 pts

On donne $g\left( x \right) =$ $\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}$
1. Calculons $g'\left( x \right)$ et précisons le sens de variations 1,25 pt
$\forall x \in R,\;$ $g'\left( x \right) = {e^{ - x}}$ $- \left( {x - 1} \right){e^{ - x}}$ $= - \left( {x - 2} \right){e^{ - x}}$
$g'\left( x \right)$ est du signe de $- \left( {x - 2} \right)$
$g$ est strictement croissante sur $\left] { - \infty ;2} \right]$ et strictement décroissante sur $\left[ {2; + \infty } \right[$.
2.a) Calcul des limites : 0,5 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \;\;$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0$
2.b) Déduisons une équation de l’asymptote horizontale 0,25 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0$
On en déduit que la droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe de g en ${ + \infty }$
3. Tableau de variations
4. Traçons la courbe de g et son asymptote 0,5 pt
5. Montrons que $g$ réalise une bijection de $\left[ {2; + \infty } \right[$ vers $K$, intervalle à déterminer. 0,75 pt
La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $\left[ {2; + \infty } \right[$ donc réalise une bijection de $\left[ {2; + \infty } \right[$ vers $\left] {0;{e^{ - 2}}} \right]$.

Exercice 4 : 3 pts

I. On considère la suite $\left( {{U_n}} \right)$ définie par ${U_n} = {\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n}$
1. Montrons que pour tout $n \in N ;{U_n} > 0$
Pour tout entier naturel n on a $\frac{{2 + n}}{e} \succ 0$, donc ${\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n} \succ 0$ c’est-à-dire ${U_n} > 0$
2a) Montrons que pour tout $n \in N$, $\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} =$ ${\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times$ $\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)$
$n \in N$,
$\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} =$ $\frac{{{{\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}^n}}}$ $=$ $\frac{{{{\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}^n} \times \left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}^n}}}$ $=$ ${\left( {\frac{{\frac{{2 + n}}{e}}}{{\frac{{1 + n}}{e}}}} \right)^n} \times$ $\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right) =$ ${\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times$ $\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right)$
d’où le résultat
2.b) Montrons que pour tout $n \ge 1,$ $\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} > 1$
En effet, $\frac{{2 + n}}{{1 + n}} > 1$ et $\frac{{2 + n}}{e} > 1$ pour tout entier naturel n différent de 0
Donc ${\left( {\frac{{2 + n}}{{1 + n}}} \right)^n} \times$ $\left( {\frac{{2 + n}}{e}} \right) > 1 \times 1$ C'est-à-dire $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ 0,5 pt
2.c) Déduisons que $(U_n )$ est croissante
En effet, d’après 2.b) $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ ce qui implique ${u_{n + 1}} > {u_n}$ car ${u_n} > 0$
Donc $(u_n)$ est croissante 0, 5pt
2. Calculons la limite de cette suite 0,25 pt
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)^n}$ $=$ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {e^{nln\left( {\frac{{1 + n}}{e}} \right)}} = + \infty$
II. Supposons $g$ croissante sur $E$ et ${U_n} \in E$, Montrons que donc ${u_{n + 1}} - {u_n}$ et $g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)$ sont de même signe.
Tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle E sur lequel $g$ est croissante ; $g$ étant croissante, pour tout couple $(x ,x’)$ de E on a $\frac{{g\left( x \right) - g\left( {x'} \right)}}{{x - x'}} \ge 0$ ainsi pour tout entier naturel $n$, on a $\frac{{g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)}}{{{u_{n + 1}} - {u_n}}}$ $\ge 0$ donc ${{u_{n + 1}} - {u_n}}$ et ${g\left( {{u_{n + 1}}} \right) - g\left( {{u_n}} \right)}$ sont de même signe.

Partie B : Évaluation des compétences 5 pts

Tâche 1 : Calcul de la probabilité de chacune des équipes des poules P1 et P3 de passer au second tour 1,5 pt
Pour les équipes de P1 :
$\;P\left( {{E_1}} \right) = 0,5$
or $P\left( {{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)$ $+ P\left( {{E_3}} \right) + P\left( {{E_4}} \right)$ $= 1\;$ avec $P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right)$ $= P\left( {{E_4}} \right)$
D’où $P\left( {{E_2}} \right) =$ $P\left( {{E_3}} \right) = P\left( {{E_4}} \right)$ $= \frac{{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{1}{6}$
Pour les équipes de P3
$P\left( {{E_9}} \right) +$ $P\left( {{E_{10}}} \right) +$ $P\left( {{E_{11}}} \right) + P\left( {{E_{12}}} \right)$ $= 1\;$ or $P\left( {{E_9}} \right) = P\left( {{E_{10}}} \right)$ $= P\left( {{E_{11}}} \right) = P\left( {{E_{12}}} \right)$
Donc
$P\left( {{E_9}} \right) = P\left( {{E_{10}}} \right)$ $= P\left( {{E_{11}}} \right) = P\left( {{E_{12}}} \right)$ $= \frac{1}{4}$

Tâche 2 :
Calcul du nombre de poignées de mains effectuées pendant le 1er tour pour traduire le fair-play (nous allons supposer que chaque équipe débute le match ayant un effectif de 11 joueurs)
• Nombre de poignés de mains par match : $11 \times 11 = 121$
• Nombre de matches du 1er tour : $6 \times C_4^2 = 36$
Nombre total de poignées de mains $121 \times 36 = 4356$ poignées de mains

Tâche 3 :
Calcul de la moyenne de buts marqués au 2nd tour :
Soit $y$ le nombre de buts au 2nd tour et $x$ le nombre de buts pendant les autres tours
On a le système suivant : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 156}\\ {x - 3y = 0} \end{array}} \right.\;$ $\Leftrightarrow x = 117$ et $y = 39$.
Au deuxième tour, on a comptabilisé 2×6+4=16 équipes qualifiées, soit 8 matchs au second tour Ainsi,
$M = \frac{{39}}{8} \approx$ $4,875$. buts en moyenne par match