Partie A : Évaluation des ressources / 13 pts

Exercice 1 / 4,5 pts

l- a) Montrons que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct:
On a \(\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}} = \) \(\frac{{3i - i}}{{4 + i - i}}\) \( = \frac{1}{2}i\) D'où IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct. 1 pt
1. b) Calculons \(\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}}\) et donnons le nature du triangle ABJ :
\(\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}} = \) \(\frac{{3i - i}}{{4 + i - i}}\) \( = \frac{1}{2}i\). Donc le triangle ABJ est rectangle en J. 0,5 pt
1. c) Démontrons que les points I, A. B et J appartiennent à un même cercle et déterminons l'affixe de son centre et son rayon :
• Le triangle IAB est rectangle en I : donc est inscrit dans le cercle qui a pour centre, le point \(\Omega \) d’affixe \(\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \) \(2 + 2i\) (milieu de \(\left[ {AB} \right]\)) et pour rayon \(\frac{{AB}}{2} = \) \(\frac{{\left| {{z_B} - {z_A}} \right|}}{2}\) \( = \sqrt 5 \)
Ainsi, les points I, A, B et J appartiennent au cercle de centre \(\Omega \) d’affixe \(2 + 2i\) et de rayon \(\sqrt 5 \)
2. a) Démontrons que l'écriture complexe de \(s\) est \(z' = (1 - i)z\) \( - 1 + 4i\) 0,75 pt
• L’affixe de l’image de \(A\) est \((1 - i)(4 + i)\) \( - 1 + 4i = 4 + i\) donc \(A\) est le centre de \(s\)
• L’affixe de l’image de \(I\) est \((1 - i)1 - 1\) \( + 4i = 3i\) donc \(s\) transforme \(I\) en \(B\)
D’où l’écriture : \(z' = (1 - i)z\) \( - 1 + 4i\)
2.b) Donnons l’angle et le rapport de \(s\) 0,75 pt
• En posant \(a = 1 - i\), on a \(\left| a \right| = \sqrt 2 \) donc le rapport de \(s\) est \(\sqrt 2 \).
• \(\cos \left[ {\arg (a)} \right]\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) et \(\sin \left[ {\arg (a)} \right] = \) \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) donc une mesure de l’angle de \(s\) est \( - \frac{\pi }{4}\)
2.c Déduisons–en l’image par \(s\) du cercle de centre \(A\) et de rayon \({\sqrt 2 }\) 0,5 pt
L'image par \(s\) du cercle de centre \(A\) et de rayon \({\sqrt 2 }\) est le cercle de centre \(s(A) = A\) et de rayon \(\sqrt 2 \times \sqrt 2 = 2\)

Exercice 2 / 4,5 pts

La fonction \(f\) est définie sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) par \(f(x) = \) \(\ln ({e^x} + x) - x\)
1. Étudions le sens des variations de f sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) 0,75 pt
• \(f\) est dérivable sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) et sa dérivée \(f’\) est definie sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) par \(f'(x) = \) \(\frac{{1 - x}}{{{e^x} + x}}\).
• \(f'(x) \succ 0\) pour tout \(x \in \left[ {0;1} \right[\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\left[ {0;1} \right[\).
• \(f'(x) \prec 0\) pour tout \(x \in \left] {1; + \infty } \right[\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\left] {1; + \infty } \right[\).
2. s) Montrons que pour tout pour tout \(x \in \left[ {0; + \infty } \right[\), \(f(x) = \) \(\ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)\)
\(f(x) = \ln ({e^x} + x)\) \( - x = \ln ({e^x} + x)\) \( - \ln {e^x} = \) \(\ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)\) 0,5 pt
2. b) Déduisons-en la limite de \(f\) en \({ + \infty }\) puis l'existence d'une asymptote : 0,5 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)\) \( = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\), Donc la droite d’équation \(y = 0\) est asymptote horizontale à la courbe \(\left( C \right)\) en \({ + \infty }\)
3. Tableau de variation de \(f\) sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\)
4.a) Déterminons une équation de la tangente \(\left( D \right)\) à \(\left( C \right)\) en O. 0,5 pt
\(\left( D \right):y = f'(0)\) \((x - 0) + f(0) = x\) donc \(y = x\)
4.b Traçons \(\left( C \right)\) et \(\left( D \right)\). 1,25 pt

Exercice 3 / 4 pts

1.a) Construisons un graphe pondérée associé à ce réseau 0,5 pt

1.b) Déterminons le plus court chemin de A à E par l’algorithme de DIJKTRA 1 pt

Donc le chemin le plus court est A→ B→ C→ E de longueur 8 km.
2. a) Déterminants les coordonnées du point moyen du nuage de cette série : 0,5 pt
Soit \(G\left( {x,y} \right)\) ce point, on a \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0,135y + 6,65\\ y = 6x – 38 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 8\\ y = 10 \end{array} \right.\) donc \(G\left( {8,10} \right)\)
2. b) Déterminons le coefficient de corrélation linéaire entre \(x\) et \(y\) : 1 pt
Posons \(r\) ce coefficient de corrélation; \(\alpha \) et \(\frac{1}{{\alpha '}}\) les coefficients directeurs des droites de régression \(r = \alpha \times \alpha ' = \) \(0,135 \times 0,6\) \( = 0,81\). Donc \(r = 0,9\) car \(\alpha \succ 0\) et \(\alpha ' \succ 0\)
\(r\) est très proche de 1 donc il y a une forte corrélation entre les variables \(x\) et \(y\).
3. a) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.
\(Card\left( \Omega \right) = \) \(C_{10}^2 = 45\)
Ainsi : \(P = \) \(\frac{{C_3^2 + C_2^2 + C_5^2}}{{45}}\) \( = \frac{{14}}{{45}} = 0,31\)
3. b) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes: 0,5 pt
\(P' = 1 - P = 0,68\)

Partie B : Évaluation des compétences / 7 pts

Tache 1 :
Déterminons le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Tanga s'il se lance dans la production des papayes :
• Trouvons les solutions de l'équation différentielle \(\left( E \right):h''(x) - 3h'(x)\) \( + 2h(x) = 0\).
Son équation caractéristique est \({r^2} - 3r + 2 = 0\) et les solutions sont \(1\) et \(2\).
Donc les solutions de (E) sont les fonctions de forme générale \(h:x \mapsto A{e^x}\) \( + B{e^{2x}}\) avec \(A,B \in {R^2}\)
• Déterminons la solution \(h\) de (E) dont la courbe passe par \(A(0 ; 15000)\) et admet en A une tangente de coefficient directeur 10000 :
La courbe de \(h\) passe par \(A(0;15000) \Rightarrow \) \(h(0) = 15000\) d'où \(A + B = 10000\)
La courbe de \(h\) admet en A une tangente de coefficient directeur \(10000 \Rightarrow h'(0)\) \( = 10000\) d'où \(A + 2B = 10000\).
La résolution de ce système nous permet d’avoir pour solution
\(\left\{ \begin{array}{l} A = 20000\\ B = - 5000 \end{array} \right. \Rightarrow \) \(h(x) = 20000{e^x}\) \( - 5000{e^{2x}}\)
Etudions les variations de \(h\):
\(h’\) est définie pour tour réel \(x\) par \(h'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow 2 - {e^x} = 0\) \( \Rightarrow x = \ln 2\)
Le bénéfice maximal annuel à réaliser si Monsieur Tanga se lance dans la production des pastèques est : \(h(\ln 2) \times 1000\) \( = (20000 \times 2 - 5000 \times 4)\) \( \times 1000 = \) \(20000000\)
Donc, ce bénéfice est 20 000 000 francs

Tâche 2 : Déterminant l'aire du domaine bénéfique à le production de pastèque:
N.B : Le domaine n'étant pas clairement bien défini, considérer le raisonnement ci-après :
Notons D ce domaine et \(A(D)\) son aire.
\(A(D) = \) \(\int\limits_0^1 {\left[ {\ln (x + 1) - \frac{x}{{x + 1}}} \right]} \) \(dx \times Ua\)
\(A(D) = \) \(\left( { - 2 + 3\ln 2} \right)Ua\)
Donc l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèque est : \(\left( { - 2 + 3\ln 2} \right) \times \) \(10000 = 794,415{m^2}\)

Tâche 3 : Déterminons l'aire du domaine bénéfique à la production des bananes 
• Déterminons les affixes de \({B_1}\)et \({B_2}\) qui sont les solutions de l'équation :
\({z^2} - \left( {2 + 4i} \right)z\) \( - 6 + 8i\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} = - 1 + 3i\\ {z_2} = 3 + i \end{array} \right.\) donc \({B_1}\left( { - 1;3} \right)\) et \({B_2}\left( { 3; 1} \right)\)
• Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que \(\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {M{B_2}} = 0\)
L'ensemble des points M tels que \(\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {M{B_2}} = 0\) est le cercle de diamètre \(\left[ {{B_1}{B_2}} \right]\) et Donc le rayon \(r = \frac{{{B_1}{B_2}}}{2}\)
Calculons la longueur du segment \(\left[ {{B_1}{B_2}} \right]\)
\({B_1}{B_2} = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|\) \( = | - 1 + 3i - \) \(3 - i| = 2\sqrt 5 \) soit \(r = \sqrt 5 \)
• Déterminons l'aire A du disque délimité par ce cercle : \(A = \pi {r^2} = \) \(15,7Ua\)
Donc faire du domaine bénéfique à la production de bananes est : \(15,7 \times 10000 = \) \(157000{m^2}\).