Partie A : Évaluation des ressources / 13 pts

Exercice 1 / 4,5 pts

l- a) Montrons que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct:
On a $\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}} =$ $\frac{{3i - i}}{{4 + i - i}}$ $= \frac{1}{2}i$ D'où IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct. 1 pt
1. b) Calculons $\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}}$ et donnons le nature du triangle ABJ :
$\frac{{{z_B} - {z_J}}}{{{z_A} - {z_J}}} =$ $\frac{{3i - i}}{{4 + i - i}}$ $= \frac{1}{2}i$. Donc le triangle ABJ est rectangle en J. 0,5 pt
1. c) Démontrons que les points I, A. B et J appartiennent à un même cercle et déterminons l'affixe de son centre et son rayon :
• Le triangle IAB est rectangle en I : donc est inscrit dans le cercle qui a pour centre, le point $\Omega$ d’affixe $\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} =$ $2 + 2i$ (milieu de $\left[ {AB} \right]$) et pour rayon $\frac{{AB}}{2} =$ $\frac{{\left| {{z_B} - {z_A}} \right|}}{2}$ $= \sqrt 5$
Ainsi, les points I, A, B et J appartiennent au cercle de centre $\Omega$ d’affixe $2 + 2i$ et de rayon $\sqrt 5$
2. a) Démontrons que l'écriture complexe de $s$ est $z' = (1 - i)z$ $- 1 + 4i$ 0,75 pt
• L’affixe de l’image de $A$ est $(1 - i)(4 + i)$ $- 1 + 4i = 4 + i$ donc $A$ est le centre de $s$
• L’affixe de l’image de $I$ est $(1 - i)1 - 1$ $+ 4i = 3i$ donc $s$ transforme $I$ en $B$
D’où l’écriture : $z' = (1 - i)z$ $- 1 + 4i$
2.b) Donnons l’angle et le rapport de $s$ 0,75 pt
• En posant $a = 1 - i$, on a $\left| a \right| = \sqrt 2$ donc le rapport de $s$ est $\sqrt 2$.
• $\cos \left[ {\arg (a)} \right]$ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ et $\sin \left[ {\arg (a)} \right] =$ $- \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ donc une mesure de l’angle de $s$ est $- \frac{\pi }{4}$
2.c Déduisons–en l’image par $s$ du cercle de centre $A$ et de rayon ${\sqrt 2 }$ 0,5 pt
L'image par $s$ du cercle de centre $A$ et de rayon ${\sqrt 2 }$ est le cercle de centre $s(A) = A$ et de rayon $\sqrt 2 \times \sqrt 2 = 2$

Exercice 2 / 4,5 pts

La fonction $f$ est définie sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ par $f(x) =$ $\ln ({e^x} + x) - x$
1. Étudions le sens des variations de f sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ 0,75 pt
• $f$ est dérivable sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ et sa dérivée $f’$ est definie sur $\left[ {0; + \infty } \right[$ par $f'(x) =$ $\frac{{1 - x}}{{{e^x} + x}}$.
• $f'(x) \succ 0$ pour tout $x \in \left[ {0;1} \right[$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\left[ {0;1} \right[$.
• $f'(x) \prec 0$ pour tout $x \in \left] {1; + \infty } \right[$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\left] {1; + \infty } \right[$.
2. s) Montrons que pour tout pour tout $x \in \left[ {0; + \infty } \right[$, $f(x) =$ $\ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)$
$f(x) = \ln ({e^x} + x)$ $- x = \ln ({e^x} + x)$ $- \ln {e^x} =$ $\ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)$ 0,5 pt
2. b) Déduisons-en la limite de $f$ en ${ + \infty }$ puis l'existence d'une asymptote : 0,5 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left( {1 + \frac{x}{{{e^x}}}} \right)$ $= 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0$, Donc la droite d’équation $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe $\left( C \right)$ en ${ + \infty }$
3. Tableau de variation de $f$ sur $\left[ {0; + \infty } \right[$
4.a) Déterminons une équation de la tangente $\left( D \right)$ à $\left( C \right)$ en O. 0,5 pt
$\left( D \right):y = f'(0)$ $(x - 0) + f(0) = x$ donc $y = x$
4.b Traçons $\left( C \right)$ et $\left( D \right)$. 1,25 pt

Exercice 3 / 4 pts

1.a) Construisons un graphe pondérée associé à ce réseau 0,5 pt

1.b) Déterminons le plus court chemin de A à E par l’algorithme de DIJKTRA 1 pt

Donc le chemin le plus court est A→ B→ C→ E de longueur 8 km.
2. a) Déterminants les coordonnées du point moyen du nuage de cette série : 0,5 pt
Soit $G\left( {x,y} \right)$ ce point, on a $\left\{ \begin{array}{l} x = 0,135y + 6,65\\ y = 6x – 38 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 8\\ y = 10 \end{array} \right.$ donc $G\left( {8,10} \right)$
2. b) Déterminons le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ : 1 pt
Posons $r$ ce coefficient de corrélation; $\alpha$ et $\frac{1}{{\alpha '}}$ les coefficients directeurs des droites de régression $r = \alpha \times \alpha ' =$ $0,135 \times 0,6$ $= 0,81$. Donc $r = 0,9$ car $\alpha \succ 0$ et $\alpha ' \succ 0$
$r$ est très proche de 1 donc il y a une forte corrélation entre les variables $x$ et $y$.
3. a) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.
$Card\left( \Omega \right) =$ $C_{10}^2 = 45$
Ainsi : $P =$ $\frac{{C_3^2 + C_2^2 + C_5^2}}{{45}}$ $= \frac{{14}}{{45}} = 0,31$
3. b) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes: 0,5 pt
$P' = 1 - P = 0,68$

Partie B : Évaluation des compétences / 7 pts

Tache 1 :
Déterminons le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Tanga s'il se lance dans la production des papayes :
• Trouvons les solutions de l'équation différentielle $\left( E \right):h''(x) - 3h'(x)$ $+ 2h(x) = 0$.
Son équation caractéristique est ${r^2} - 3r + 2 = 0$ et les solutions sont $1$ et $2$.
Donc les solutions de (E) sont les fonctions de forme générale $h:x \mapsto A{e^x}$ $+ B{e^{2x}}$ avec $A,B \in {R^2}$
• Déterminons la solution $h$ de (E) dont la courbe passe par $A(0 ; 15000)$ et admet en A une tangente de coefficient directeur 10000 :
La courbe de $h$ passe par $A(0;15000) \Rightarrow$ $h(0) = 15000$ d'où $A + B = 10000$
La courbe de $h$ admet en A une tangente de coefficient directeur $10000 \Rightarrow h'(0)$ $= 10000$ d'où $A + 2B = 10000$.
La résolution de ce système nous permet d’avoir pour solution
$\left\{ \begin{array}{l} A = 20000\\ B = - 5000 \end{array} \right. \Rightarrow$ $h(x) = 20000{e^x}$ $- 5000{e^{2x}}$
Etudions les variations de $h$:
$h’$ est définie pour tour réel $x$ par $h'(x) = 0$ $\Leftrightarrow 2 - {e^x} = 0$ $\Rightarrow x = \ln 2$
Le bénéfice maximal annuel à réaliser si Monsieur Tanga se lance dans la production des pastèques est : $h(\ln 2) \times 1000$ $= (20000 \times 2 - 5000 \times 4)$ $\times 1000 =$ $20000000$
Donc, ce bénéfice est 20 000 000 francs

Tâche 2 : Déterminant l'aire du domaine bénéfique à le production de pastèque:
N.B : Le domaine n'étant pas clairement bien défini, considérer le raisonnement ci-après :
Notons D ce domaine et $A(D)$ son aire.
$A(D) =$ $\int\limits_0^1 {\left[ {\ln (x + 1) - \frac{x}{{x + 1}}} \right]}$ $dx \times Ua$
$A(D) =$ $\left( { - 2 + 3\ln 2} \right)Ua$
Donc l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèque est : $\left( { - 2 + 3\ln 2} \right) \times$ $10000 = 794,415{m^2}$

Tâche 3 : Déterminons l'aire du domaine bénéfique à la production des bananes 
• Déterminons les affixes de ${B_1}$et ${B_2}$ qui sont les solutions de l'équation :
${z^2} - \left( {2 + 4i} \right)z$ $- 6 + 8i$
$\left\{ \begin{array}{l} {z_1} = - 1 + 3i\\ {z_2} = 3 + i \end{array} \right.$ donc ${B_1}\left( { - 1;3} \right)$ et ${B_2}\left( { 3; 1} \right)$
• Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que $\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {M{B_2}} = 0$
L'ensemble des points M tels que $\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {M{B_2}} = 0$ est le cercle de diamètre $\left[ {{B_1}{B_2}} \right]$ et Donc le rayon $r = \frac{{{B_1}{B_2}}}{2}$
Calculons la longueur du segment $\left[ {{B_1}{B_2}} \right]$
${B_1}{B_2} = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$ $= | - 1 + 3i -$ $3 - i| = 2\sqrt 5$ soit $r = \sqrt 5$
• Déterminons l'aire A du disque délimité par ce cercle : $A = \pi {r^2} =$ $15,7Ua$
Donc faire du domaine bénéfique à la production de bananes est : $15,7 \times 10000 =$ $157000{m^2}$.