I-) ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 points)

EXERCICE 1 : (5points)

I-) On considère dans ℂ, le polynôme \(?\) défini par : \(P(z) = {z^3} + {z^2} - \) \((1 + i)z + 2 - 2i\)
1-) Démontrer que \(?\) admet une racine réelle \(a \) que l’on déterminera. 0,75pt
2-) Déterminer le réel \(?\) tel que pour tout nombre complexe \(z\),
\(P(z) = (z + 2)\) \((z + i)(z - b)\) 0,5pt
II-) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respectives \({z_P} = - 2\); \({z_Q} = - i\) et \({z_R} = 1+i\)
1-a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe \(\frac{{{z_Q} - {z_P}}}{{{z_Q} - {z_R}}}\) 0,75pt
b-) En déduire la nature exacte du triangle PQR. 0,25pt
III-) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Soit \(s\) la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que \(z' = (1 + i)z + 2 - i\) et \({{z_o}}\) le nombre complexe définit par \({z_o} = 1 + 2i\).
1-) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(s\). 1pt
2-) On pose \(z = x + iy\) et \(z' = x' + iy'\). Exprimer \(?’\) et \(?’\) en fonction de \(?\) et \(?\). 0,75pt
3-) Déterminer l’image de la droite (D) : \(2? − ? + 3 = 0\) par \(s\). 1pt

EXERCICE 2 : (5points)

I-) Le tableau suivant donne la masse \(y\) en kg d’un nourrisson \(?\) jours après sa naissance.
1-) Déterminer les coordonnées \((\overline x ;\overline y )\) du point moyen G du nuage. 0,5pt
2-) Déterminer les variances \(?(?)\) et \(?(?)\) des caractères respectifs \(? \) et \(?\) . 0,75pt
3-) Déterminer la covariance \(??? (?; ?)\) de la série\( (?? ; ?? )\) . 0,5pt
4-) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de cette série. Interpréter le résultat obtenu .0,75pt
5-a) Déterminer une équation de la droite de régression de \(?\) en \(?\) . 0,5pt
b-) Un bébé a une masse de 4,34kg après 35 jours de sa naissance. Cela vous paraît-il normal? 0,5pt
II-) Pour tout entier naturel \(?\) non nul, on pose : \({I_k} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^{k - 1}}}}{{1 + {x^k}}}} dx\)
1-) Montrer que pour tout entier naturel \( ?\) non nul \({I_k} = \frac{{\ln 2}}{k}\) 0,5pt
2-) Soit \(?\) une variable aléatoire dont l’univers image est \(X(\Omega )\)= {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} et telle que, pour tout \(k \in X(\Omega )\); \(P(X = k) = {k^2}\alpha {I_k}\); avec ? ∈ ℝ .
Montrer que \(\alpha = \frac{1}{{21\ln 2}}\) puis calculer l’espérance mathématique ?(?) de X . 0,5pt × ? = 1pt

EXERCICE 3: (5points)

On considère la fonction ? définie de ℝ vers ℝ par \(f(x) = (x + 1){e^{ - \frac{x}{2}}}\). On appelle \((?? )\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) d’unité 1cm sur les axes.
I-1-a) Etudier les variations de la fonction \(?\) et dresser son tableau de variation sur \(\left] {0, + \infty } \right[\) 1pt
b-) En déduire que pour tout \(?\) de \(\left[ {1;2} \right]\), \(f(x) \in \left[ {1;2} \right]\). 0,5pt
2-) Montrer que, pour tout \(?\) de \(\left[ {1;2} \right]\); on a \(\left| {f'(x)} \right| \le \frac{1}{2}\) 0,5pt
3-) Soit D le domaine du plan délimité par l’axe des abscisses , la courbe \((?? )\) et les droites d’équations \(? = 0\) et \(? = 2\) . Calculer l’aire du domaine D. 0,75pt
II-) On admet que l’équation \(?(?) = ?\) admet une unique solution \(\alpha \) dans l’intervalle \(\left[ {1;2} \right]\) et on considère la suite numérique \((?? )\) définie par : \({u_0} = 1\) ? t pour tout entier naturel \(n\) , \({u_{n + 1}} = f({u_n})\). On admet que pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} \in \left[ {1;2} \right]\).
1-a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), on a \(\left| {{u_{n + 1}} - \alpha } \right| \le \frac{1}{2}\left| {{u_n} - \alpha } \right|\) 0,75pt
b-) En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \frac{1}{{{2^n}}}\) 0,5pt
c-) En déduire que la suite \((??)\) converge et donner sa limite. 0,5pt
2-) Déterminer le plus petit entier naturel \({n_1}\) tel que \(\forall n \in N\) \(n \ge {n_1} \Rightarrow \) \(\left| {{u_n} - \alpha } \right| \prec {10^{ - 6}}\). 0,5pt

II-) ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

Situation
En février 2018, la population électorale d’une localité du Cameroun était de 20000 électeurs. Depuis cette période, chaque année, cette population augmente de 5% et de plus,1000 nouveaux électeurs supplémentaires viennent s’y établir définitivement.
Pour sa campagne en vue des élections sénatoriales de février 2023, M. Bouba a fait appel à un artisan pour réaliser une portion de dessin d’art sur le pagne à distribuer à ses militants. Il réalise alors son dessin dans un espace carré à l’aide de la représentation graphique de la fonction \(?\) définie sur \(\left[ {0,1} \right]\) par \(f(x) = \sqrt x \), de sa réciproque \({f^{ - 1}}\), puis effectue leurs symétriques par rapports aux axes des coordonnées et à l’origine du repère.(Unité graphique : 4 cm pour 1unité).
Le jour des élections, le vieux Saliou par ailleurs voisin de M. bouba , doit partir de chez lui ( situé au quartier W) et enfourcher son vélo pour son bureau de vote ( situé au quartier K). Il pourra passer par plusieurs quartiers avant d’atteindre ce lieu de vote. Son fils Ali désire déterminer le plus court chemin pour lui éviter trop de fatigue. Le graphe ci-dessous nous donne les différentes pistes possibles et les distances en kilomètre séparant deux quartiers. Les quartiers sont représentés par les points K, H, P, E, W, O, B et G.
Aux élections de février 2018, le taux d’abstention était de 10% et on suppose que ce taux restera le même aux élections de 2023. Ali souhaite connaître le nombre de votants dans cette localité en février 2023.

Tâche 1 Présenter la maquette réalisée par l’artisan à M. Bouba. 1,5pt
Tâche 2 Déterminer le nombre de votants aux élections de 2023. 1,5pt
Tâche 3 Préciser le chemin à emprunter par le vieux Saliou pour aller voter. 1,5pt
Présentation : 0,5pt
NB. ( W : Départ de Saliou et K : lieu de vote)