Problème Epreuve maths au bac D et TI 2015

PROBLÈME: 11 points
Partie A
On considère l'équation différentielle $y'' - 4y =$ $16x + 16$ $(E)$
1— Résoudre l'équation homogène (E’) associé à (E) $y'' - 4y = 0$
2- Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que le polynôme $P(x) = \alpha x + \beta$ soit une solution particulière de (E).   0,5 pt
3- Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement SI f - P est solution de (E') 0,5 pt:
4- En déduire toutes les solutions de (E). 0,5 pt
5 Déterminer parmi ces solutions celle qui vérifie les conditions f(0) = 4 et $f'(0) = - 4$. 1pt
Partie B
On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) =$ ${e^{2x}} + 3{e^{ - 2x}} - 4$
1- Montrer que $g(x) = {e^{ - 2x}}$ $({e^{4x}} - 4{e^{2x}} + 3)$ 0,5pt
2- Etudier le signe de g(x). 1pt
3- On considère sur $\mathbb{R}$ la fonction h définie par
$h(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}}$ $- \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} - 4x$
a) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$,
$h(x) =$ ${e^{2x}}(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}{e^{ - 4x}}$ $- 4x{e^{ - 2x}}) =$ ${e^{ - 2x}}(\frac{1}{2}{e^{4x}}$ $- \frac{3}{2} - 4x{e^{2x}})$   0,5pt
b) Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h(x)$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } h(x)$ 1pt
c) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$ , h'(x) = g(x). 0.5pt
d) En déduire le tableau de variation de h. 1pt
e) Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une seule solution réelle $\alpha$ telle que $\alpha \in ]1,2[$    1pt
f) Construire la courbe représentative (C_h) de la fonction h dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 3 cm sur les axes. 1,5 pt
4. Déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C_h), l’axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et $x = \frac{1}{2}\ln 3$. 1pt