Partie A : Évaluation des ressources 15 pts

EXERCICE 1 4,75 pts

1. Déterminons les racines cubiques de 8 0,75 pt
Déterminons les solutions complexes de l’équation ${z^3} = 8$
On a : ${z^3} - 8 = 0 \Rightarrow$ $\left( {z - 2} \right)$ $\left( {{z^2} + 2z + 4} \right) = 0$ soit ${z - 2 = 0}$ et ${{z^2} + 2z + 4 = 0}$
Résolvons l'équation : ${{z^2} + 2z + 4 = 0}$
$\Delta = - 12$ $= {\left( {2i\sqrt 3 } \right)^2}$ et les solutions de cette équations sont : $- 1 - i\sqrt 3$ et $- 1 + i\sqrt 3$. Donc les racines cubiques de 8 sont : $2$, -$- 1 - i\sqrt 3$ et $- 1 + i\sqrt 3$
2.a) Montrons que $\frac{{{z_C} - {z_B}}}{{{z_A} - {z_B}}} = {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}$ et donnons la nature du triangle ABC. 0,75 pt
$\frac{{{z_C} - {z_B}}}{{{z_A} - {z_B}}} =$ $\frac{{2 + 1 + i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i\sqrt 3 + 1 + i\sqrt 3 }}$ $= \frac{{3 + i\sqrt 3 }}{{2i\sqrt 3 }}$ $= \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $= {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}$
Donc le triangle ABC est équilatéral
2.b) Déterminons le centre et le rayon du cercle $\left( {{\Gamma _1}} \right)$ circonscrit au triangle ABC 1,5 pt
Soit G le centre du cercle circonscrit, G est aussi le centre de gravité de ce triangle car ABC est un triangle équilatéral. Le point G a pour affixe ${z_G} = \frac{1}{3}({z_A} + {z_B}$ $+ {z_C}) = 0$
donc $G = O$ origine du repère et le rayon ${R_1} = OC = 2$
2.c) Montrons que l’ensemble $\left( {{\Gamma _2}} \right)$ des points M d’affixe $z$ qui vérifie $2(z + \overline z ) + z\overline z = 0$ est le cercle de centre $\Omega$ et d’affixe $- 2$ et de rayon $2$. 0,5 pt
Soit $MM(x, y, z)$ un point de $\left( {{\Gamma _2}} \right)$ d’affixe $z = x + iy$, on a $z + \overline z = 2x$ et $z\overline z = {x^2} + {y^2}$ d’où
$4x + {x^2} + {y^2}$ $= 0 \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} +$ ${y^2} = {2^2}$. Ainsi $\left( {{\Gamma _2}} \right)$ est le cercle de centre $\Omega$ d’affixe ${z_\Omega } = - 2$ et de rayon ${R_2} = 2$.
2d) Vérifions que A et B sont des éléments de $\left( {{\Gamma _2}} \right)$. 0,5 pt
$2({z_A} + \overline {{z_A}} ) +$ ${z_A}\overline {{z_A}} = - 4 +$ ${2^2} = 0$ donc $A \in \left( {{\Gamma _2}} \right)$.
$2({z_B} + \overline {{z_B}} ) +$ ${z_B}\overline {{z_B}} = - 4 +$ ${2^2} = 0$ donc $B \in \left( {{\Gamma _2}} \right)$.
2.e) Déterminons l’écriture complexe de la similitude $S$ de centre $\Omega$ telle que $S(A)=B$ 0,75 pt
L’écriture complexe de la similitude s’écrit sous la forme $z’ = az +b$
$S(\Omega ) = \Omega \Rightarrow$ $2a + b = - 2$$2a + b = - 2$ et $S(A) = B \Rightarrow$ $\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)a +$ $b = - 1 - i\sqrt 3$
En résolvant le système d’équation, on trouvera $a = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ et $b = - 3 - i\sqrt 3$
Par conséquent $z' = \left( { - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)z$ $- 3 - i\sqrt 3$

EXERCICE 2

1.a) Résolvons l'équation $(E)$ : $y' - 2y = 0$ dans $R$. 0,5 pt
$\left( E \right)y' - 2y = 0 \Rightarrow$ $y' = 2y \Leftrightarrow y:$ $x \mapsto k{e^{2x}}$ avec $k \in R$
1.b) Montrons que la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$ est définie par : $f(x) = {e^{kx}}$ 0,5 pt
$f$ solution de $(E)$ donc $f(0) = 1 \Rightarrow k = 1$ donc $f(x) = {e^{kx}}$
1.c) Déterminons en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $\left[ {n, n + 1} \right]$.
Celte valeur est : $M = \frac{1}{{n + 1 - n}}$ $\int\limits_n^{n - 1} {f(x)dx} =$ $\left[ {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right]_n^{n + 1}$ $= \frac{1}{2}{e^{2n}}\left( {{e^2} - 1} \right)$
2.a) Calculons ${u_0}$ et ${u_1}$ 0,5 pt
${u_0} = \frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$ et ${u_1} = \frac{1}{2}{e^2}\left( {{e^2} - 1} \right)$
2. b) Montrons que $\left( {{u_n}} \right)$ est une suite géométrique de raison ${e^2}$
Soit $n \in N$. ${u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$ ${e^{2n + 2}} = {e^2}$ $\left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right){e^{2n}}} \right]$ $= {e^2}{u_n}$
Donc $\left( {{u_n}} \right)$ est une suite géométrique de raison ${{e^2}}$.
2. c) Déterminons la valeur exacte de la somme ${u_0} + {u_1} + {u_2}$ $+ ... + {u_{2023}}$
Cette somme est composée de 2024 termes consécutifs de la suite $(Un)$, on a donc
${u_0} + {u_1} + {u_2}$ $+ ... + {u_{2023}} =$ $\frac{{{u_0}\left( {{e^{2 \times 2024}} - 1} \right)}}{{{e^2} - 1}}$ $= \frac{{\left( {{e^{2 \times 2024}} - 1} \right)}}{{{e^2} - 1}}$ $\frac{1}{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$ $= \frac{{\left( {{e^{4048}} - 1} \right)}}{2}$ 0,5 pt

EXERCICE 3 / 3 pts

l. Une urne contient 5 jetons portant les nombres : $1, e$ , ${{e^2}}$, $\frac{1}{e}$ et $\frac{1}{{{e^2}}}$
1. Déterminons la probabilité de l'évènement A : « M appartient à l’axe des réels »
Le point M a pour affixe $z = \ln a + i\ln b$ et appartient à l'axe $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$.
Donc $\ln b = 0 \Rightarrow b = 1$
Si $U = \left\{ {1,e,{e^2},\frac{1}{e},\frac{1}{{{e^2}}}} \right\}$ alors l'univers des éventualités est $\Omega = U \times U$.
$Card(A) =$ $Card(U \times \{ 1\} ) =$ $5 \times 1 = 5$ et $Card\left( \Omega \right) = 5 \times 5 = 25$ donc $P(A) = \frac{{CardA}}{{Card\Omega }} =$ $\frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}$
2. Montrons que la probabilité de l’évènement B : « M appartient à l’axe des imaginaires purs » est égale à 0,2
Le point M a pour affixe $z = lna + ilnb$ et appartient à l'axe $\left( {O;\overrightarrow j } \right)$.
donc $\ln a = 0 \Rightarrow a = 1$, $Card\left( B \right) =$ $Card\left( {\{ 1\} \times U} \right) = 5$
$P(A) = \frac{{CardA}}{{Card\Omega }}$ $= 0,5$

ll.1. Déterminons une équation de la droite de Mayer de $(x, y)$.
Déterminons les coordonnées des points moyens partiels ${G_1}$ et ${G_2}$
${x_1} = \frac{1}{3}(7 +$ $7,8 + 9,2)$ et ${y_1} = \frac{1}{3}(10,5 +$ $11 + 11,5)$
${G_1}\left( {8, 240} \right)$
${G_2}\left( {11, 259} \right)$
La droite de Mayer passe par les points $G_1$ et $G_2$ et s’écrit sous la forme $y = ax + b$ avec $a = \frac{{140 - 259}}{{8 - 11}} = \frac{{19}}{3}$ et $b = 240 - \frac{{19}}{3}$ $\times 8 = \frac{{568}}{3}$ donc la droite de Mayer est : $y = \frac{{19}}{3}x + \frac{{568}}{3}$
2. Déduisons-en en une estimation des frais de publicité d'une entreprise dont le chiffre d'affaires est de 3 milliards de francs
Pour 3 milliards de chiffre d'affaires, $y = 300$ et on résout l'équation : $\frac{{19}}{3}x + \frac{{568}}{3} = 300$ donc $x = 17,47$ donc les frais de publicité sont environ de 174.700.000 F 0,5 pt

EXERClCE 4

On donne la fonction $g$ définie sur $D = \left] { - 1;0} \right[$ par : $g(x) = \frac{1}{{x(x + 1)}}$
a) Calculons les limites de $g$ à droite de $-1$ et à gauche de $0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g(x) = - \infty$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {0^ - }} g(x) = - \infty$
b) Étudions les variations de $g$ 0,5 pt
La dérivée de $g$ est telle que $g'(x) = \frac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}$; $g'(x) = 0 \Rightarrow$ $- 2x - 1 = 0 \Rightarrow$ $x = - \frac{1}{2}$
Pour $x \in \left] { - 1; - \frac{1}{2}} \right]$, $g'(x) \ge 0$ donc $g$ est croissante su $\left] { - 1; - \frac{1}{2}} \right]$
Pour $x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right[$,$g'(x) \le 0$ donc est décroissante sur $\left[ { - \frac{1}{2};0} \right[$
c) Déduisons-en que pour tout $x \in D$, $g(x) \prec 0$
$g\left( {\left[ { - 1;0} \right[} \right) = \left] { - \infty ; - 4} \right]$ donc $x \in D$, $g(x) \prec 0$ 0,25 pt
d) Montrons que pour tout $x \in D$, $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$
Pour tout $x \in D$, $\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} =$ $\frac{{x + 1 - x}}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}$ $= g(x)$ 0,5 pt
Déduisons-en sur $\left] { - 1;0} \right]$ la primitive G de g qui s’annule en $- \frac{1}{2}$
Pour tout $x \in D$, $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$ $\Rightarrow G(x) = \ln x -$ $\ln \left( {x + 1} \right) + cte,$ ainsi : $g( - \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow a = 0$
$G(x) = \ln \left| x \right|$ $- \ln \left| {x + 1} \right| =$ $\ln \left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)$ dans $x \in D$ 0,5 pt
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\left] { - 1;0} \right[$ par : $f(x) = \ln \left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)$
a) Calculons les limites de $f$ aux bornes de l’intervalle $\left] { - 1;0} \right[$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) \to - \infty$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to {-1^ + }} f(x) \to + \infty$ 1 pt
Montrons que pour tout $x \in \left] { - 1;0} \right[$, $f'(x) = g(x)$
$f'(x) = \frac{{\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)'}}{{\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)}}$ $= \frac{1}{{x(x + 1)}}$ 0,5 pt
c) Déduisons-en le sens de variation de $f$ sur $\left] { - 1;0} \right[$
Pour tout $x \in \left] { - 1;0} \right[$,$f'(x) = g(x)$ et d’après la question 1c) $g(x) \prec 0$ donc $f'(x) \prec 0$
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left] { - 1;0} \right[$

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 5 pts

Tâche 1 : A partir de combien d’années les intérêts produits à la banque permettront-ils à Tang d’acheter un autre billet d'avion pour son épouse ? 1,5 pt

Soit ${u_0} = a$ le montant d'argent du billet d’avion déposé dans la banque ($a \in R$)
Après un an, le montant est de : ${u_1} = {u_0} + 0.05{u_0}$ $= 1,05{u_0}$
Après deux ans, le montant est de : ${u_2} = {\left( {1,05} \right)^2}{u_0}$
Après $n$ années ($n \in N$), le montant est de ${u_n} = {\left( {1,05} \right)^n}a$. On a ainsi construit une suite $\left( {{u_n}} \right)$ qui est géométrique de raison 1,05. Or pour acheter le billet d'avion de son épouse, il faut que : ${u_n} \ge 2{u_0} \Rightarrow$ ${\left( {1,05} \right)^n}a \ge 2a$ $\Leftrightarrow n \ge 14,08$
Tang doit attendre 15 ans pour acheter un billet d'avion à son épouse

Tâche 2 : Tang pourra-t-il à partir des loyers de ses maisons réaliser son projet ? 1,5 pt

Étudions la variation de la fonction S définie par : $S(x) = \frac{1}{2}({x^3} -$ $15{x^2} + 63x)$ sur l'intervalle $[1, 9]$ .
$S'(x) = \frac{3}{2}({x^2} -$ $10x + 21) = \frac{3}{2}$ $\left( {x - 3} \right)\left( {x - 7} \right)$
$S'(x) = 0$, on a $x=3$ et $x=7$
Sur $[1, 3]$ la fonction $S$ est croissante et prend des valeurs allant de 24,5 à 40,5
Sur $[3, 7]$ la fonction $S$ est décroissante et prend des valeurs allant de 40,5 à 24,5
Sur $[7, 9]$ la fonction $S$ est croissante et prend des valeurs allant de 24,5 à 40,5.
En conclusion : le montant des loyers au cours des 9 premières années a des valeurs qui se situent entre 24.500.000 F et 40.500.000 F et n’ont pas atteint les 41.000.000 F recherchés. Tang ne pourra donc pas réaliser son projet.

Tâche 3 : Tang pourra-t-il acheter ce sac ? 2 pts

Soit $x$ la valeur de la baisse subie par les articles
Si ${P_1}$ est le prix de la veste après la première baisse, on a : ${P_1} = 140000 - 1400x$
Si ${P_2}$ est le prix de la veste après la deuxième baisse, on a :
${P_2} = {P_1} - \frac{{{P_1}}}{{100}}x$ $= 140000 - 2800x$ $+ 14{x^2}$
${P_2} = 126350 \Rightarrow$ $140000 - 2800x +$ $14{x^2} = 126350$ $(E)$
Les solutions de $(E)$ sont 5 et 195. La via-ieur exacte de ia baisse est $x = 5$.
Le prix du sac après la deuxième baisse : $P = 20000 -$ $20000 \times \frac{5}{{100}} = 19000$ F
Conclusion : Tang ne pourra pas acheter ce sac car la somme d’argent don: il dispose est plus petite que 19 000 F.