Partie A : Évaluation des ressources : ( 13 points)

Exercice 1 : 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthogonal $\left( {O;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$on considère :
I. L’ensemble $E$ des points $M(x,y)$ d’affixe $z = r{e^{i\theta }}$ , vérifiant la relation : ${r^2}( - \cos 2\theta + 1) = 9$, ( $r$ et $\theta$ étant respectivement le module et l’argument de $z$ ). Soient ${z_A} = \rho {e^{i\frac{\pi }{6}}}$ et ${z_B} = 3{e^{i\alpha }}$, ($0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ ) les affixes respectifs des points $A$ et $B$ du plan.
Déterminer le module $\rho$ et l’argument $\alpha$, pour que les points A et B appartiennent à $(E)$. 2pts
II. Les point $E$, $f$, $C$ et $D$ d’affixes respectives ${z_E} = - \frac{1}{2}$, ${z_F} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$, ${z_C} = 1 + i\sqrt 3$ et ${z_D} = 3$ .
a) Montrer que le triangle $FED$ est rectangle en $E$ . 1pt
b) Déterminer l’écriture complexe de la similitude plane directe $S$ qui transforme $E$ en $F$ et $F$ en $C$ . 1pt
c) Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude $S$ . 1 pt

Exercice 2 : (3 pts)

Un fournisseur d’une compagnie en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement ${M_1}$, ${M_2}$ et ${M_3}$. La moitié des appareils de son stock provient de ${M_1}$, un huitième de ${M_2}$ , et trois huitièmes de ${M_3}$ . Ce fournisseur sait que dans son stock, 12% des appareils de la marque ${M_1}$ sont rouge, que 4 % des appareils de la marque ${M_2}$ sont rouges et que 10% des appareils de la marque ${M_3}$ le sont aussi.
On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce fournisseur : (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductible)
a) Quelle est la probabilité qu'il vienne de ${M_1}$ ou de ${M_3}$ ? 1pt
b) Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de ${M_2}$ ? 1pt
c) Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 1pt

Exercice 3 : 5 points

Le plan est muni du repère orthonormé (O ; I, J) (unité graphique : ).
1) On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = (a{x^2} + bx + c){e^x}$ . La représentation graphique $(C)$ de $f$ passe par les points $B( - 2;6{e^{ - 2}})$, $C( 2; -2{e^{ - 2}})$ et admet au point d’abscisse ${x_0} = 1$ une tangente $(T)$ perpendiculaire à la droite $(D)$ d’équation $y = \frac{1}{3}({e^{ - 1}}x + 2)$.
a) Montrer que $f'(x) = [a{x^2} + (2a$ $+ b)x + b + c]{e^x}$, $f’$ étant la fonction dérivée de $f$. 0.5pt
b) Déterminer en fonction de $a$, $b$ et $c$, les expressions de $f( - 2)$, $f(2)$ et $f'(1)$ 0.75 pt
c) En déduire de tout ce qui précède que : $a = 1$, $b = - 2$ et $c = - 2$ 0,75 pt
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par$g(x) = \frac{2}{3}f(x)$.
a) Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation. 1,25pt
b) Tracer dans le repère $(O ; I J)$ la courbe représentative $(C’)$ de la fonction $g$ . 1pt
3) On pose $F(x) = ({x^2} - 4x + 2){e^x}$
a) Vérifier que $F'(x) = f(x)$ pour $a=1$, $b=-2$ et $c = -2$ 0,25 pt
b) Déterminer l’aire du domaine $D$ délimitée par la courbe $(C’)$ la droite d’équation $x=2$ et les axes de coordonnées. 0,5pt

Partie B Évaluation des compétences : 7 points

Monsieur Koul est un fermier qui fait dans l’élevage des poules. Il a relevé dans le tableau suivant le nombre de poules élevé en milliers dans sa ferme :

Les nombres de poules élevées en 2019 et en 2022 ont été effacés par mégarde.
Ces valeurs avaient permis par la méthode des moindres carrées d’obtenir une équation $T:y = 22x + 243$ comme équation de la droite de régression de $y$ en $x$ qui permettait à monsieur Koupit d’avoir une estimation du nombre de poules élevées. Monsieur Koul à urgemment besoin de ces valeurs car il voudrait envoyer ses statistiques au Ministère de l’élevage.
M Koul doit se rendre à partir de son domicile, représenté par le sommet A au ministère de l’élevage (sommet G) à fin de déposer ses statistiques. il peut passer par les point de ventes de ses produits représentés par les sommets B, C, D, E, F et H en minimisant le coût. Le réseau routier qui relie ces quartiers est matérialisé sur la figure ci-dessous où les nombres désignent les distances en hm entre 2 quartiers.
Par ailleurs pour sécuriser sa ferme, Monsieur Koul décide de l’entourer par deux rangées de fils de fer barbelées dont le mètre carré coûte 245FCFA . Son architecte lui indique que le nombre de mètre de fils de fer à acheter est T(2) arrondi à l’unité où $T$ est la solution de l’équation différentielle $(E):y'' - 2y' - 3y$ $= (5x + 9){e^{ - 2x}}$ qui admet comme solution particulière $P(x) = (x + 3){e^{ - 2x}}$ et dont les conditions initiales de l’équation $y'' - 2y' - 3y = 0$ sont $y''(0) = 1$ et $y'(0) = 3$ . Il dispose d’une somme de 190 000 frs pour l’achat du matériel. On prendra $e=2,7$ .
Tâches :
1- Aider Monsieur Koul à retrouver les valeurs $a$ et $b$ manquantes de son tableau. 2,25pts
2- Quel est le plus court chemin que M Koul devra prendre pour se rendre au ministère ? 2,25pts
3- M Koul pourra-t-il réussir à sécuriser sa ferme ? 2,25pts
Présentation : 0,25pt