Partie A : Évaluation des ressources : ( 13 points)

Exercice 1 : 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthogonal \(\left( {O;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)on considère :
I. L’ensemble \(E\) des points \(M(x,y)\) d’affixe \(z = r{e^{i\theta }}\) , vérifiant la relation : \({r^2}( - \cos 2\theta + 1) = 9\), ( \(r\) et \(\theta \) étant respectivement le module et l’argument de \(z\) ). Soient \({z_A} = \rho {e^{i\frac{\pi }{6}}}\) et \({z_B} = 3{e^{i\alpha }}\), (\(0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\) ) les affixes respectifs des points \(A\) et \(B\) du plan.
Déterminer le module \(\rho \) et l’argument \(\alpha \), pour que les points A et B appartiennent à \((E)\). 2pts
II. Les point \(E\), \(f\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives \({z_E} = - \frac{1}{2}\), \({z_F} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\), \({z_C} = 1 + i\sqrt 3 \) et \({z_D} = 3\) .
a) Montrer que le triangle \(FED\) est rectangle en \(E\) . 1pt
b) Déterminer l’écriture complexe de la similitude plane directe \(S\) qui transforme \(E\) en \(F\) et \(F\) en \(C\) . 1pt
c) Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude \(S\) . 1 pt

Exercice 2 : (3 pts)

Un fournisseur d’une compagnie en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement \({M_1}\), \({M_2}\) et \({M_3}\). La moitié des appareils de son stock provient de \({M_1}\), un huitième de \({M_2}\) , et trois huitièmes de \({M_3}\) . Ce fournisseur sait que dans son stock, 12% des appareils de la marque \({M_1}\) sont rouge, que 4 % des appareils de la marque \({M_2}\) sont rouges et que 10% des appareils de la marque \({M_3}\) le sont aussi.
On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce fournisseur : (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductible)
a) Quelle est la probabilité qu'il vienne de \({M_1}\) ou de \({M_3}\) ? 1pt
b) Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de \({M_2}\) ? 1pt
c) Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 1pt

Exercice 3 : 5 points

Le plan est muni du repère orthonormé (O ; I, J) (unité graphique : ).
1) On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x) = (a{x^2} + bx + c){e^x}\) . La représentation graphique \((C)\) de \(f\) passe par les points \(B( - 2;6{e^{ - 2}})\), \(C( 2; -2{e^{ - 2}})\) et admet au point d’abscisse \({x_0} = 1\) une tangente \((T)\) perpendiculaire à la droite \((D)\) d’équation \(y = \frac{1}{3}({e^{ - 1}}x + 2)\).
a) Montrer que \(f'(x) = [a{x^2} + (2a\) \( + b)x + b + c]{e^x}\), \(f’\) étant la fonction dérivée de \(f\). 0.5pt
b) Déterminer en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\), les expressions de \(f( - 2)\), \(f(2)\) et \(f'(1)\) 0.75 pt
c) En déduire de tout ce qui précède que : \(a = 1\), \(b = - 2\) et \(c = - 2\) 0,75 pt
2) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par\(g(x) = \frac{2}{3}f(x)\).
a) Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variation. 1,25pt
b) Tracer dans le repère \((O ; I J)\) la courbe représentative \((C’)\) de la fonction \(g\) . 1pt
3) On pose \(F(x) = ({x^2} - 4x + 2){e^x}\)
a) Vérifier que \(F'(x) = f(x)\) pour \(a=1\), \(b=-2\) et \(c = -2\) 0,25 pt
b) Déterminer l’aire du domaine \(D\) délimitée par la courbe \((C’)\) la droite d’équation \(x=2\) et les axes de coordonnées. 0,5pt

Partie B Évaluation des compétences : 7 points

Monsieur Koul est un fermier qui fait dans l’élevage des poules. Il a relevé dans le tableau suivant le nombre de poules élevé en milliers dans sa ferme :

Les nombres de poules élevées en 2019 et en 2022 ont été effacés par mégarde.
Ces valeurs avaient permis par la méthode des moindres carrées d’obtenir une équation \(T:y = 22x + 243\) comme équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) qui permettait à monsieur Koupit d’avoir une estimation du nombre de poules élevées. Monsieur Koul à urgemment besoin de ces valeurs car il voudrait envoyer ses statistiques au Ministère de l’élevage.
M Koul doit se rendre à partir de son domicile, représenté par le sommet A au ministère de l’élevage (sommet G) à fin de déposer ses statistiques. il peut passer par les point de ventes de ses produits représentés par les sommets B, C, D, E, F et H en minimisant le coût. Le réseau routier qui relie ces quartiers est matérialisé sur la figure ci-dessous où les nombres désignent les distances en hm entre 2 quartiers.
Par ailleurs pour sécuriser sa ferme, Monsieur Koul décide de l’entourer par deux rangées de fils de fer barbelées dont le mètre carré coûte 245FCFA . Son architecte lui indique que le nombre de mètre de fils de fer à acheter est T(2) arrondi à l’unité où \(T\) est la solution de l’équation différentielle \((E):y'' - 2y' - 3y\) \( = (5x + 9){e^{ - 2x}}\) qui admet comme solution particulière \(P(x) = (x + 3){e^{ - 2x}}\) et dont les conditions initiales de l’équation \(y'' - 2y' - 3y = 0\) sont \(y''(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\) . Il dispose d’une somme de 190 000 frs pour l’achat du matériel. On prendra \(e=2,7\) .
Tâches :
1- Aider Monsieur Koul à retrouver les valeurs \(a\) et \(b\) manquantes de son tableau. 2,25pts
2- Quel est le plus court chemin que M Koul devra prendre pour se rendre au ministère ? 2,25pts
3- M Koul pourra-t-il réussir à sécuriser sa ferme ? 2,25pts
Présentation : 0,25pt