Partie A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice I 3,5 pts

1) Résolvons dans \(\mathbb{C}\), l’équation \({z^2} - (5 - 3i)z + 4 - 7i = 0\) 1,5 pt
\(\Delta = - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2}\)
Les solutions de l’équation sont :
\({z_1} = \frac{{5 - 3i - 1 + i}}{2} = 2 - i\) et \({z_2} = 3 - 2i\)
2) Déterminons l’expression complexe de la similitude directe \(s\) de centre \(C\) qui transforme A en en B 1 pt
Les points A, B et C ont pour affixes respectives \({z_A} = 2 - i\), \({z_B} = 3 - 2i\) et \({z_C} = 1 - 2i\). L’expression complexe de la similitude directe est de la forme \(z' = az + b\) avec \(a\) et \(b\) des nombres complexes.
\(s(C) = C\) et \(s(A) = B\) soit \(\left\{ \begin{array}{l}a(1 - 2i) + b = 1 - 2i\\a(2 - i) + b = 3 - 2i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 - i\\b = 2 + i\end{array} \right.\)
L’expression complexe est \(z' = (1 - i)z + 2 + i\).
3) Précisons les éléments caractéristiques de la similitude \(s\). 0,5 pt
La similitude direct \(s\) est de centre C, de rapport \(k = \left| {1 - i} \right| = \sqrt 2 \) et d’angle \(\theta = \arg (1 - i) = - \frac{\pi }{4}\) rad
4) Déterminons l’image de la droite (AC) par la similitude \(s\) 0,5 pt
L’image de la droite (AC) est donc la droite (BC).

Exercice 2 / 3 points

1) Indiquons toutes les valeurs possibles de X.
Les valeurs cherchées sont : 0, 500, 1000 et 1500
2) Dressons le tableau de la loi de probabilité de X

Cas ou les deux billets sont tirés simultanément
\(P(X = 0) = \frac{{C_{16}^2}}{{C_{20}^2}} = \frac{{120}}{{190}}\)
\(P(X = 500) = \frac{{C_3^1C_{16}^1}}{{C_{20}^2}} = \frac{{48}}{{190}}\)
\(P(X = 1000) = \frac{{C_1^1C_{16}^1 + C_3^1}}{{C_{20}^2}} = \frac{{19}}{{190}}\)
\(P(X = 1500) = \frac{{C_1^1C_3^1}}{{C_{20}^2}} = \frac{3}{{190}}\)

Cas ou les deux billes sont tires successivement et sans remise
\(P(X = 500) = \frac{{A_{16}^2}}{{A_{20}^2}} = \frac{{240}}{{380}} = \frac{{120}}{{190}}\)
\(P(X = 500) = \frac{{A_3^1A_{16}^1}}{{A_{20}^2}} \times 2\) \( = \frac{{96}}{{380}} = \frac{{48}}{{190}}\)
\(P(X = 1000) = \frac{{A_1^1A_{16}^1 \times 2 + A_3^2}}{{A_{20}^2}}\) \( = \frac{{38}}{{380}} = \frac{{19}}{{190}}\)
\(P(X = 1500) = \frac{{A_1^1A_3^1}}{{A_{20}^2}} \times 2\) \( = \frac{6}{{380}} = \frac{3}{{190}}\)

3. Calculons la probabilité pour que ce joueur puisse gagner un montant supérieur à 500 francs. 0,5 pt
Il s'agit de calculer \(P(X \succ 500)\)
\(P(X \succ 500) = P(X = 1000)\) \( + P(X = 1500) = \frac{{22}}{{190}} \approx 0,115\)

Exercice 3 5 points

a) Résolvons l’équation différentielle \((E)\) : \(y'' + 4y' + 4y = 0\). 1 pt
Une équation caractéristique de \((E)\) est : \({r^2} + 4r + 4 = 0\) qui admet la solution double \(r = 2\).
Les solutions de l’équation \((E)\) sont des fonctions \({f_{(a,b)}}\) définies par : \({f_{(a,b)}}(x) = (ax + b){e^{ - 2x}}\), \(a\) et \(b\) étant des constantes réelles.
1 b) Résolvons l’équation différentielle \((E)\) : \(y'' + 4y' + 4y = - 4\)
Les fonctions \({g_{(a,b)}}(x)\) solutions de \((E')\) sont telles que \({g_{(a,b)}}(x) = {f_{(a,b)}}(x) + \gamma \) avec \(\gamma \in \mathbb{R}\) on a donc
\(g'{'_{(a,b)}}(x) + 4g{'_{(a,b)}}(x)\) \( + 4{g_{(a,b)}}(x) = - 4\) soit \(4\gamma = - 4 \Rightarrow \gamma = - 1\).
Donc \({g_{(a,b)}}(x) = (ax + b){e^{ - 2x}} - 1\)
2) \(g\) est la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = - 1 - (x + 0,5){e^{ - 2x}}\)
a) Démontrons que \(g\) est la solution de l’équation \((E')\) vérifiant les égalités \(g(0) = 1,5\) et \(g'(0) = 0\) 0,5 pt
La dérivée de \(g\) est \(g'\) définie par \(g'(x) = 2x{e^{ - 2x}}\) et la dérivée de \(g'\) est \(g”\) définie par \(g''(x) = \left( { - 4x + 2} \right){e^{ - 2x}}\)
On a \(g''(x) + g'(x)\) \( + g(x) = - 4\)
Donc \(g\) est une solution de (E'). En outre \(g(0) = - 1 - 0,5 = - 1,5\) et \(\begin{array}{l}0\\g'(0) = 0\end{array}\)
b) Calculons les limites de \(g\) en \( - \infty \) et \( + \infty \); puis déduisons-en une équation d'une asymptote à la courbe de \(g\) 0,75 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - 1 \) , \(y=-1\) est donc  une équation d'une asymptote horizontale à  \((Cg)\)
c) Déterminons le signe de \(g'(x)\) et dressons le tableau de variations de \(g\). 0,75 pt
\(g'(x) = 2x{e^{ - 2x}}\) et comme pout tout \(x \in \mathbb{R}\), \({e^{ - 2x}} \succ 0\) alors le signe de \(g’(x)\) depend du signe de \(x\).
Ainsi pour \(x \in \left] { - \infty ;0} \right]\), \(g'(x) \le 0\) et pour \(x \in \left[ {0; + \infty } \right[\),\(g'(x) \ge 0\). Le tableau de variation est le suivant :
d)` Traçons la courbe de \(g(x)\) 1 pt
a) Déterminons à l’aide d'une intégration par parties \(\int\limits_0^2 {(x + 0,5){e^{ - 2x}}dx} \) 0,5 pt
Posons \(\left\{ \begin{array}{l}u(x) = x + 0,5\\v'(x) = {e^{ - 2x}}\end{array} \right.\) avec \(\left\{ \begin{array}{l}u'(x) = 1\\v'(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}\end{array} \right.\)
on a \(\int\limits_0^2 {(x + 0,5){e^{ - 2x}}dx} = \frac{{1 - 3{e^{ - 1}}}}{2}\)

Exercice 4 3,5 pts

1) Démontrons que la valeur exacte de \(\alpha \) est 2 1 pt
Le point moyen \(G(\overline x ,\overline y )\) avec \(\overline x = \frac{1}{5}(\alpha + 8)\) et \(\overline y = 5,4\) appartient à la droite de régression de \(Y\) en \(X\) d’équation \(y = 3,6x - 1,8\)
On a donc \(\overline y = 3,6\overline x - 1,8\) \( \Rightarrow \overline x = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{5}(\alpha + 8)\) \( = 2 \Rightarrow \alpha = 2\)
3) Représentons le nuage des points associés à cette série statistique double.
3) Calculons le coefficient de corrélation linéaire \(\sigma \) et donnons une interprétation du résultat obtenu. 1 pt
\(\sigma = \frac{{{\mathop{\rm cov}} (x,y)}}{{\sqrt {v(x) \times v(y)} }}\)
Avec \({\mathop{\rm cov}} (x,y) = \frac{1}{5}\sum\nolimits_{i = 1}^5 {{x_i}{y_i}} \) \( - \overline x \overline y = \frac{{63}}{5} - 2 \times 5,4 = 1,8\), \(V(X) = 0,5\) et \(V(Y) = 6,94\).
On a donc \(\sigma = \frac{{1,8}}{{\sqrt {0,5 \times 6,94} }} \approx 0,96\). On peut dire que la corrélation est bonne car \(\sigma = 0,96\) est une valeur proche de 1.
4) Donnons une estimation du capital de PME au 6ème mois lorsqu'elle avait dépensé 4 millions de francs 0,5 pt
En prenant \(x = 4\) dans l’équation de la droite de régression \(y = 3,6x - 1,8\), on obtient \(y = 12,6\)
Ceci correspond à un montant de 12.600.000 de francs.

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 5 pts

Tâche 1 : Déterminons à quelle distance du point O on doit placer le point M pour que l’espace rectangulaire ait une aire maximale.
Posons \(OM = x\) avec \(0 \prec x \prec 100\). La longueur du rectangle est \(L(x) = 2x\) et la largeur est \(l(x) = \sqrt {{{100}^2} - {x^2}} \). L'aire du rectangle en fonction de \(x\) est donnée par : \(A(x) = 2x\sqrt {{{100}^2} - {x^2}} \) \( = \sqrt {40000{x^2} - 4{x^4}} \)
La dérivée de A est définie par : \(A'(x) = \frac{{8x(5000 - {x^2})}}{{\sqrt {40000{x^2} - 4{x^4}} }}\)
\(A'(x) = 0 \Rightarrow (5000 - {x^2})\) \( = 0 \Rightarrow x = 50\sqrt 2 \) car \(0 \prec x \prec 100\) Le tableau des variations de A est donc
L'aire de l'espace rectangulaire est maximale si \(OM = 50\sqrt 2 = 70,7\) m.

Tâche 2 : Vérifions s’il y’a une position du point M pour laquelle la surface rectangulaire est la moitié de la surface initiale du terrain.
On a obtenu \(A(x) = 2x\sqrt {{{100}^2} - {x^2}} \) et l’aire initiale du terrain \(\frac{1}{2}\pi {r^2} = 5000\pi \) Si l’aire du terrain rectangulaire est la moitiee de l’aire initiale, on a \(\sqrt {40000{x^2} - 4{x^4}} = 2500\pi \), soit \({x^4} - {100^2}{x^2} + \frac{{{{\left( {2500\pi } \right)}^2}}}{4} = 0\)
En posant \(X = {x^2}\), on a \({X^2} - {100^2}X + \frac{{{{\left( {2500\pi } \right)}^2}}}{4} = 0\)
De solutions \({X_1} = 5000 - 1250\sqrt {16 - {\pi ^2}} \) et \({X_2} = 5000 + 1250\sqrt {16 - {\pi ^2}} \)
Soient \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 43,64\\{x_2} = 89,97\end{array} \right.\)
On a deux positions possibles du points \(\left\{ \begin{array}{l}OM = 43,64\\OM = 89,97\end{array} \right.\).

Tâche 3 : Déterminons à partir de la quatrième année d’épargne si pourra réaliser son projet
Soit \({u_n}\) l'avoir de Paul dans cette banque après le 1er Janvier de l année \(2016 + n\).
On a \({u_0} = 5.000.000\) et pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} = (1,045) \times {u_n}\). Ainsi la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est géométrique de raison 1,045 et de premier terme \({u_0} = 5.000.000\). Par suite \({u_n} = {(1,045)^n} \times 5.000.000\)
Pour que Paul soit capable d'investir dans l’élevage, il faut que \({u_n} \ge 7.000.000\)
\({u_n} = {(1,045)^n} \times 5.000.000\) \( \ge 7.000.000 \Rightarrow n \ge \) \(\frac{{\ln \left( {1,4} \right)}}{{\ln \left( {1,045} \right)}} = 7,64\). La plus petite valeur de \(n\) pour la réalisation du projet est 8 pour une épargne égale à \({u_8}\). Donc le projet est réalisable à partir de la 9ème année.

Présentation 0,5 pt