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Exercice 1: Mouvement dans les champs et leurs applications

1.1 Représentons la force $\overrightarrow F$

 

 

 

$F = k\frac{{\left| {{q_1}} \right|\left| {{q_2}} \right|}}{{A{B^2}}}$       $F = 9 \times {10^{ - 5}}N$

On montre que  $E = 2{E_1}\cos (\theta )$

$\overrightarrow P  = m.{\overrightarrow a _G}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right.$ $= m.{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\{a_G}\end{array} \right.$

Ainsi : $\overrightarrow {{a_G}}  =  - g.\overrightarrow j$

${\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} =  - g\end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha )\\{v_y} =  - gt + {v_0}\sin (\alpha )\end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = ({v_0}\cos (\alpha ))t\\y =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )t\end{array} \right.$

$t = \frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}}$ soit $y =  - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})^2}$ $+ {v_0}\sin (\alpha )(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})$

$\color{blue}{y =  - \frac{1}{2}g\frac{{{x^2}}}{{{{({v_0}cos(\alpha ))}^2}}} + x.\tan (\alpha )}$

1.1 On obtient une immobilité apparente pour ${f_e} = \frac{f}{k}{\rm{ }}$ avec $k \in N$ La plus grande fréquence des éclairs pour laquelle on observe une immobilité apparente est f_e=f =100Hz et dans ce cas, k=1.

1.2 la relation entre f_e et f : ${f_e} = \frac{f}{k}{\rm{ }}$ avec $k \in N$ f_emax=100Hz

Pour  $k = 2{\rm{  }}{f_e} = 50Hz,{\rm{ }}$  pour $k = 3{\rm{   }}{f_e} = 33,33Hz$

$\overrightarrow P  + \overrightarrow T  = m\overrightarrow {{a_G}}$ $\Rightarrow \overrightarrow P {\left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}$ $+ \overrightarrow T {\left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$ $= m{\overrightarrow a _G}{\left( \begin{array}{l}m\frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}{l}\\ml\ddot \theta \end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$

Suivant le vecteur $\overrightarrow \tau$ nous avons :

$- mg\sin (\theta )$ $= ml\ddot \theta$ $\Rightarrow \ddot \theta$ $+ \frac{g}{l}\sin (\theta ) = 0$   avec $\omega _0^2 = \frac{g}{l}$

$\sin (\theta ) \approx \theta$ et ${\rm{ }}\ddot \theta  + \frac{g}{l}\theta  = 0$ avec $\omega _0^2 = \frac{g}{l}$

${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}$ ${T_0} = 1,9{\rm{s}}$

À t=0, θ(0) =0  et  ${\left. {\frac{{d\theta }}{{dt}}} \right|_{t = 0}} \prec 0$

$t = 0,{\rm{ }}$ ${\rm{ }}0 = {\theta _0}\cos (\varphi )$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\varphi  = \frac{\pi }{2}\\\varphi  = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.{\rm{  }}$

${\left. {\frac{{d\theta }}{{dt}}} \right|_{t = 0}} =  - {\theta _0}\sin (\varphi )$  $\prec 0\left\{ {\varphi  = \frac{\pi }{2}} \right.$

$\theta (t) = {\theta _0}\cos ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})$

1.2 Calcule de la longueur d’onde $\lambda  = \frac{v}{f} = 0,2{\rm{m}}$

$p = \frac{{30 \times {{10}^{ - 2}}}}{{0,2}}$ $= 1,5\left\{ \begin{array}{l}k = 1,5 \notin N{\rm{ }}\\(2k + 1)\frac{1}{2}{\rm{ = 1,5}}\\2k + 1)\frac{1}{4}{\rm{ }}\end{array} \right.$

${}_{55}^{137}Cs \to {}_{ - 1}^0e + {}_{56}^{137}Ba$

${N_r}$ $= {N_0} - {N_0}.\frac{{90}}{{100}}$ $= \frac{1}{{10}}{N_0}$

$t = \frac{T}{{\ln 2}}.\ln (\frac{{{N_0}}}{{{N_r}}})$ $= \frac{T}{{\ln 2}}\ln 10$      $t = 99,658{\rm{ ans}}$

${T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{1}{{9,8}}}  = 2{\rm{s}}$ 

 

$T_0^2 = \frac{{4{\pi ^2}}}{g}l$

$\tan (\alpha )$ $= \frac{{\Delta T_0^2}}{{\Delta l}}$ $= \frac{{4,5 - 2}}{{\left( {5,5 - 2,5} \right).0,2}}$ $= 4,167 = \frac{{4{\pi ^2}}}{g}$

$g = \frac{{4{\pi ^2}}}{{4,17}} = 9,47{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$