${E_{{C_G}}} - {E_{{C_0}}}$ $= W(\overrightarrow P ) + W(\overrightarrow T )$

$\frac{1}{2}mv_G^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$ $=  - mg({z_G} - {z_{{G_0}}})$ $=  - mg((l - l\cos (\theta ))$ $- (l - l\cos ({\theta _0})))$ $= mgl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))$

$v_G^2 - v_0^2$ $= 2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))$              ${v_G}$ $= \sqrt {v_0^2 + 2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))}$

${\color{blue}{v_G} = 10,23{\rm{m/s}}}$

$\overrightarrow P  + \overrightarrow T$ $m\overrightarrow {{a_G}}  \Rightarrow$ $\overrightarrow P {\left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}$ $+ \overrightarrow T {\left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$ $= m{\overrightarrow a _G}{\left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{l}\\l\ddot \theta \end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$

Suivant le vecteur ${\overrightarrow \tau  }$ nous avons 

$- mg\cos (\theta ) + T$ $= m\frac{{{v^2}}}{l}$

$\Rightarrow T$ $= m\frac{{{v^2}}}{l} + mg\cos (\theta ){\rm{ }}$ avec ${v^2} =$ $v_0^2 + 2gl(\cos (\theta ) - \cos ({\theta _0}))$

$T =$ $m\frac{{v_0^2}}{l}$ $+ mg(3\cos (\theta )$ $- 2\cos ({\theta _0}))$            $T = 10,923{\rm{N}}$

$y = \frac{{e.E}}{{2mv_0^2}}{x^2}.$

 

${S_1}\left( \begin{array}{l}{x_1}\\{y_1}\end{array} \right){\rm{ }}$ et ${S_2}\left( \begin{array}{l}{x_1}\\{y_2}\end{array} \right)$ $\Rightarrow {S_1}{S_2}$ $= \sqrt {{{({x_1} - {x_1})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}}$ $= \sqrt {{{({y_1} - {y_2})}^2}}$ $= \left| {{y_1} - {y_2}} \right|$

Avec: ${y_1} =  - \frac{{e.E}}{{2mv_0^2}}{l^2}{\rm{ }}$ et ${\rm{ }}{y_2} = \frac{{e.E}}{{2mv_0^2}}{l^2}$

${S_1}{S_2} = d = \frac{{e.}}{{mv_0^2}}{l^2}\frac{U}{L}$       ${S_1}{S_2} = d = 4,44 \times {10^{ - 2}}{\rm{m}}$

$\overrightarrow P  + \overrightarrow T$ $= m\overrightarrow {{a_G}}  \Rightarrow$ $\overrightarrow P {\left( \begin{array}{l} - mg\cos (\theta )\\ - mg\sin (\theta )\end{array} \right)_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}$ $+ \overrightarrow T {\left( \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$ $= m{\overrightarrow a _G}{\left( \begin{array}{l}\frac{{{v^2}}}{l}\\l\ddot \theta \end{array} \right)_{_{\overrightarrow {n,} \overrightarrow \tau  }}}$

Suivant le vecteur ${\overrightarrow \tau  }$ nous avons 

$- mg\sin (\theta )$ $+ 0 = ml\ddot \theta$ et ${\theta _0} \prec {10^0}$ avec $\sin (\theta ) \approx \theta$

$\ddot \theta  + \frac{g}{l}\theta  = 0$

$\omega _0^2 = \frac{g}{l}$ $= 4{\pi ^2}f_0^2$ $\Rightarrow l = \frac{g}{{4{\pi ^2}f_0^2}}$   $l = 0,57{\rm{m}}$

$\theta (t) = {\theta _0}\sin ({\omega _0}t + \varphi )$

À t=0, θ(0) =θ₀ =9⁰  $\left. \begin{array}{c}{360^0} \to 2\pi {\rm{ rad}}\\{{\rm{9}}^{\rm{0}}} \to x\end{array} \right\}$  $\Rightarrow x = \frac{\pi }{{20}}{\rm{ rad}}$

$t = 0s,{\rm{ }}$ $\theta (0) = {\theta _0}$ $= {\theta _0}\sin (\varphi )$ $\Rightarrow \sin (\varphi )$ $= 1\left\{ \begin{array}{l}\varphi  = \frac{\pi }{2}\\\varphi  = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.$

La vitesse étant positive à l’instant initiale, nous avons $\varphi  = \frac{\pi }{2}$ rad

$\theta (t)$ $= \frac{\pi }{{20}}\sin ({\omega _0}t + \frac{\pi }{2})$

${}_{92}^{238}U \to$ ${}_{82}^{206}Pb + x{}_2^4He + y{}_{ - 1}^0e$

$\left\{ \begin{array}{l}238 = 206 + 4x\\92 = 82 + 2x - y\end{array} \right.$ $\Rightarrow x = 8{\rm{ et  }}y = 6$

$A(t) = {A_0}\exp ( - \lambda t)$ avec $A(t) = \frac{{{A_0}}}{{1500}}$

$\frac{{{A_0}}}{{1500}}$ $= {A_0}\exp ( - \lambda .t)$ $\Rightarrow t = \frac{1}{\lambda }\ln 1500$ $= \frac{T}{{\ln 2}}\ln 1500$

$\color{blue}{t = 73,85\min }$

${\rm{V}} = \lambda .f = 0,308{\rm{m/s}}$

${T^2}({s^2})$	0	4	14	36	42,25
x (m)	0	0,19	0,77	1,73	2,03

 5.2 La courbe est une droite donc l’équation est de la forme: $x(t) = a.{t^2}$

${a_B} = {a_A}$ $= r\ddot \theta  = {a_G}$

 5.4 Montrons que l’accélération a commune de M et de M’ est de la forme: ${a_G} = \frac{m}{{2M + m}}g$

${\overrightarrow P _A} + {\overrightarrow T _A}$ $= {m_A}{\overrightarrow a _G}$ $\Leftrightarrow {\overrightarrow P _A}\left| \begin{array}{l}0\\ - {P_A}\end{array} \right.$ $+ {\overrightarrow T _A}\left| \begin{array}{l}0\\{T_A}\end{array} \right.$ $= {m_A}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\{a_G}\end{array} \right.$

Soit : $\color{blue}{- {P_A} + {T_A}}'$ $\color{blue}{= {m_A}{a_G}}{\rm{ \color{red}{\  (1)}}}$

${\overrightarrow P _B} + {\overrightarrow T _B}$ $= {m_B}{\overrightarrow a _G}$ $\Leftrightarrow {\overrightarrow P _B}\left| \begin{array}{l}0\\{P_B}\end{array} \right.$ $+ {\overrightarrow T _B}\left| \begin{array}{l}0\\ - {T_B}\end{array} \right.$ $= {m_B}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\{a_G}\end{array} \right.$

Soit : ${\color{blue}{P_B} - {T_B}}$ $\color{blue}{ = {m_B}{a_G}}{\rm{\color{red}{\ (2)}}}$

${T_A} = {T_A}'$ et ${T_B} = {T_B}'$

${\mathfrak{M}_\Delta }({T_A}')$ $+ {\mathfrak{M}_\Delta }({T_B}')$ $= {J_\Delta }\ddot \theta  = 0$

$- r{T_A}' + r{T_B}'$ $= 0 \Rightarrow$${T_A}' = {T_B}'$

Ainsi : ${T_A} = {T_B}$ $= {m_B}.g - {m_B}{a_G}$ $= {m_A}.g + {m_A}{a_G}$

${a_G} = \frac{{{m_B} - {m_A}}}{{{m_B} + {m_A}}}g$ $= \frac{{M + m - M}}{{M + m + M}}g$ $= \frac{m}{{m + 2M}}g$

$x(t)$ $= \frac{1}{2}.\frac{m}{{(m + 2M)}}g.{t^2}$

$p = \tan (\theta )$ $= \frac{{\Delta x}}{{\Delta {t^2}}}$ $= \frac{{2,03 - 0,2}}{{42,25 - 4}}$ $= 47,85 \times {10^{ - 3}}$       $g = \frac{{2p(m + 2M)}}{m}$          $g = 9,667{\rm{N/kg}}$