Exercice (5 points)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe : \(3 + 4i\). 0,5pt
2. On considère dans C l'équation (E) : \({z^3} - (5 + 3i){z^2}\) \( + (5 + 8i)z\) \( - 1 - 5i = 0\)
a. Montrer que l'équation (E) admet une unique racine réelle \({z_0}\) que l’on déterminera. 0,5 pt
b. Résoudre dans C l’équation (E). 1 pt
3. Dans le plan affine euclidien, on considère le triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que : AB = AC = a (avec a >0.)
a. Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A, 4) ;(B; -1)et (c ; -1) 0,5 pt
b. Déterminer l'ensemble (E₁) des points M du plan tels que : \(4M{A^2} - M{B^2}\) \( - M{C^2} = 2{a^2}\) 1,5 pt
(On ne demande pas la construction de l'ensemble (E₁))
4. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé direct \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), on considère les points A(l; 0),B(l; -3) et C(-2; 0).
a. Déterminer la forme complexe de la similitude directe S de centre A, qui transforme B en C. 0,5pt
b. Déduire les éléments caractéristiques de S. 0,5pt

Exercice 2 (4 points)
1. Un atelier comporte deux machines M₁ et M₂ fonctionnant de manière indépendante. Les probabilités de défaillance de chacune de ces machines sont respectivement 0,02 pour M₁ et 0,03 pour M2.
On considère les événements suivants :
A : « la machine M₁ est défaillante »
B : « la machine M₃ est défaillante »
Déterminer les probabilités :
a. P₁ d’avoir les deux machines défaillantes. 0,75 pt
b. P₂ d'avoir une seule machine défaillante. 0,75 pt
Il. L'on a étudié au cours d’un certain nombre d’années le capital de cet atelier en milliards de francs CFA et ses dépenses en publicité en millions. On obtient le tableau ci-dessous :

a. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal. 1 pt
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. 0,5 pt
c. Déterminer la covariance de x et y notée cov(xy). 1 pt

Problème (l1 points)
La partie C est indépendante des autres parties.

Partie A : (5,5 points)
f est une fonction numérique de la variable réelle x définie par \(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
1. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation. 2 pts
2. Déterminer les asymptotes de la courbe (C) de f. 0,5 pt
3- Montrer que le point I(l; -l) de rencontre des asymptotes est centre de symétrie de (C ). 1 pt
4. a. Tracer (C) dans un repère orthonormé \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), (unité sur les axes : 1cm). 1 pt
b. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), les droites d’équations \(y = x - 2\) , \(x = - 1\) et l'axe des ordonnées. 1 pt

Partie B : (2,5points)
\({\left( {{U_n}} \right)_{n \in N}}\) est une suite numérique définie par :
\(\left\{ \begin{array}{l}{U_0} = 10\\{U_{n + 1}} = f\left( {{U_n}} \right)\end{array} \right.\)
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \({{U_n} \ge 3}\) 1 pt
2. a. Montrer que la suite (Un) est décroissante. 0,5pt
b. (Un) est-elle convergente ? Justifier votre réponse. 0,25pt
3. a. Résoudre dans R l’équation \(f(a) = a\). 0,25pt
b. Trouver la limite de \(\left( {{U_n}} \right)\) quand n tend vers l’infini . 0,5pt

Partie C : (3points)
On considère l’équation différentielle (D) : \(y'' + 2y' + \) \(y = - x - 2\)
1. Déterminer une fonction affine g solution de (D). l pt
2. Montrer qu’une fonction h deux fois dérivable sur R est solution de (D) si et seulement si la fonction \(h - g\) est solution de l’équation différentielle (D’): \(y'' + 2y'\) \( + y = 0\) 0,5pt
3. Résoudre l’équation différentielle (D’) et en déduire la solution h de (D) vérifiant
\(\left\{ \begin{array}{l}h(0) = - 1\\h'(0) = - 1\end{array} \right.\) 1,5 pt