Partie A : Évaluation des ressources / 15 points

Exercice 1 : 3,5 points

1. a) Déterminons la forme canonique de \(P(x)\) 0,5 pt
\(P(x) = - 2\) \(\left[ {{{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)}^2} - \frac{{25}}{{16}}} \right]\) \( = - 2\) \(\left[ {{{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]\)
1. b) Déduisons-en que 2 et \( - \frac{1}{2}\) sont les solutions dans \(R\) de l’équation \(P(x) = 0\). 0,75 pt
\(P(x) = - 2\) \({\left( {x - \frac{3}{4} - \frac{5}{4}} \right)^2}\) \({\left( {x - \frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right)^2}\) \( = - 2\left( {x - 2} \right)\) \(\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\)
Ainsi, 2 et \({ - \frac{1}{2}}\)sont les solutions de 1’ équation \(P(x) = 0\).
2. a) Montrons que pour tout \(x \in R\), \(\cos 2x + 3\sin x\) \(\cos 2x + 3\sin x\) \( + 1 = - 2{\sin ^2}x + \) \(3\sin x + 2\) 0,5 pt
Comme \(\cos 2x = 1 - {\sin ^2}x\) pour tout \(x \in R\), alors : pour tout \(x \in R\), \(\cos 2x + 3\sin x\) \(\cos 2x + 3\sin x\) \( + 1 = - 2{\sin ^2}x + \) \(3\sin x + 2\)
2.b) Résolvons l’équation (E) dans \(R\) : \( - 2{\sin ^2}x + \) \(3\sin x + 2 = 0\) 1pt
Posons \(X = sinx\). L’équation (E) devient alors : \( - 2{X^2} + 3X + 2 = 0\) avec \( - 1 \le X \le 1\). En vertu de la question l), cette équation a pour solutions \({X_1} = 2\) et \({X_2} = \frac{1}{2}\).
\(\sin x = - \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Donc : \(x = - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) et \(x = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi \) avec \(x \in Z\)
3. Résolvons l’inéquation (1) dans \(\left[ {0;2\pi } \right[\). 1 pt
(1) : \( - 2\sin 2x + \) \(3\sin x + 2 \prec 0 \Leftrightarrow \) \( - 2\left( {\sin x - 2} \right)\) \(\left( {\sin x + \frac{1}{2}} \right) \prec 0\)
Or \( - 2\left( {\sin x - 2} \right) \prec 0\)pour tout reel \(x\). Donc \(\left( {\sin x + \frac{1}{2}} \right) \prec 0\)
(l) a pour ensemble solution : \(\left] {\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right[\)

Exercice 2 : 4 points

1. a) Montrons que le couple \((x, y)\) de \(R^2\) vérifie le système \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 22\\ 4x + 9y = 98 \end{array} \right.\) 0,75 pt
\(60 = 13x + 15\) \( + 10 + y \Leftrightarrow \) \(x + y = 22\)
\(450 = \) \(\frac{{13 \times 50 + ... + 900y}}{{60}}\) \( \Leftrightarrow 4x + 9y\) \( = 98\)
Donc, \((x, y)\) vérifie le système \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 22\\ 4x + 9y = 98 \end{array} \right.\)
1.b) Déduisons-en \(x\) et \(y\),
En résolvant le système ci-dessus, on trouve \(\left\{ \begin{array}{l} x = 20\\ y = 2 \end{array} \right.\) 0,75 pt
2.a) Déterminons la variance de cette série statistique. 1 pt
\(V = \frac{1}{N}\) \(\sum {c_i^2} \times {k_i} - {\overline x ^2}\) \( = \frac{{14550000}}{{60}}\) \( - {450^2} = 40000\)
2.b) Déterminons par interpolation linéaire la médiane de cette série statistique.
La médiane \(Me\) est dans l’intervalle \(\left[ {300;500} \right[\). Par interpolation linéaire, on a : \(\frac{{13 - 33}}{{300 - 500}} = \) \(\frac{{30 - 13}}{{Me - 300}}\)
On trouve alors \(Me = 470\)
3. Déterminons le nombre de choix possibles que l’on peut faire \(C_{13}^2 = 13 \times 6\) \( = 78\). On peut faire 78 choix possibles. 0,5 pt

Exercice 3 : 4 points

1. a) Montrons que E est barycentre des points A et D affectés des coefficients que l'on précisera.
\( - \overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} \) \( + 2\overrightarrow {EC} = \overrightarrow 0 \) entraîne que \(E = bar\{ (A, - 1);\) \((B,2);(C,2)\} \)
Comme \(\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \), alors D est le milieu du segment [BC].
on a : \(D = bar{(B, 2); (C, 2)}\). En considérant D comme un barycentre partiel, on a \(E = bar{(A, - 1); (D, 4)}\).
1. Montrons que pour tout point M du plan, \( - \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \) \(2\overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {ME} \) et \( - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} \) \( = \overrightarrow {AD} \) 1 pt
\( - \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \) \(2\overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {ME} + \) \(( - \overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} + 2\overrightarrow {EC} )\)
Donc : \( - \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \) \(2\overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {ME} \)
\( - \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} = \) \(\overrightarrow {AD} \)
2. Déterminons l’ensemble \(\left( \Gamma \right)\) des points M du plan tels que :
\(|| - \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \) \(2\overrightarrow {MC} || = 2|| - \) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} ||\)
\(M \in \left( \Gamma \right)\) équivaut à \(3||\overrightarrow {ME} || = \) \(2||\overrightarrow {AD} ||\) ou à \(||\overrightarrow {ME} || = \frac{2}{3}\) \(||\overrightarrow {AD} ||\)
Ainsi, \(\left( \Gamma \right)\) est le cercle de centre E et de rayon \(\frac{2}{3}||\overrightarrow {AD} ||\)
3. a) Construisons un graphe traduisant cette situation 0,75 pt
NB : L’énoncé étant ambigu, plusieurs graphes sont possibles.
1er cas avec ces questions :
3.b) Justifions que ce graphe est simple. 0,25 pt
Ce graphe ne comporte pas de boucle ni d'arête multiple. Donc, il est simple.
3.c) Vérifions si ce graphe est complet 0,25 pt
Deux sommets distincts de ce graphe sont toujours reliés par une arête. Donc, ce graphe est complet.
4. Déterminons le nombre de vols-aller simples que doit prévoir cette compagnie Soit \(n\) ce nombre de vols-aller simples. Alors, n vérifie l’équation : \(2n = 5 \times 4\).
On trouve \(n = 10\). Cette compagnie doit prévoir dix vols-aller simples.
2eme cas avec ces questions :
Ce graphe est simple et non complet.
NB : Les autres graphes du même type s’obtiennent de la même manière en interchangeant le point A avec n’importe quel autre pont.
4. Déterminons le nombre de vols-aller simples que doit prévoir cette compagnie pour ce graphe particulier.
Cette compagnie doit prévoir quatre vols-aller simples.

Exercice 4 : 3,5 points.

1. a) Calculons la limite de \(f\) en \( + \infty \). 0,25 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \frac{3}{4}\)
1.b) Calculons \(f'(x)\) où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\). 0,5 pt
Pour tout \(x\) positif, \(f'(x) = \) \(\frac{9}{{{{\left( {3 + 4x} \right)}^2}}}\)
2.a) Dressons le tableau des variations de \(f\)
2.b) Construisons la courbe de \(f\). 0,5 pt
3. Montrons que pour tout entier naturel \(n\),
\(4 + {V_n} = 4 + \) \(\left( {1 + \frac{3}{{{U_n}}}} \right) = 5 + \) \(\frac{3}{{{U_n}}} = \frac{{5{U_n} + 3}}{{{U_n}}}\)
4.a) Montrons que (\({V_n}\)) est une suite arithmétique de raison 4 et de 1er terme \({V_0} = 0\).
\({V_{n + 1}} = 1 + \) \(\frac{3}{{{U_{n + 1}}}} = 1 + \) \(\frac{{3\left( {3 + 4{U_n}} \right)}}{{3{U_n}}} = 1 + \) \(\frac{{3 + 4{U_n}}}{{{U_n}}} = \frac{{5{U_n} + 3}}{{{U_n}}}\) \( = 4 + {V_n}\)
Or \({V_0} = 1 + \frac{3}{{{U_0}}} = 4\)
Donc, \(\left( {{V_n}} \right)\) est une suite arithmétique de raison 4 et de 1er terme \(V_0 = 4\).
4.b) Exprimons \(\left( {{V_n}} \right)\) en fonction de \(n\) pour tout \(n \in N\). 0,25 pt
Pour tout entier naturel \(n\), \({V_n} = {V_0} + 4n\) \( = 4 + 4n\).
4.c) Déduisons-en \({{U_n}}\) en fonction de \(n\).
\(1 + \frac{3}{{{U_n}}} = {V_n}\) \( \Rightarrow {U_n} = \) \(\frac{3}{{ - 1 + {V_n}}}\), d’où \({U_n} = \frac{3}{{3 + 4n}}\)

Partie B : Évaluation es compétences / 5 points

1) Déterminons le taux l’intérêt dans la banque ALPHA
• \(t\% \), Le taux d’intérêt dans la banque ALPHA.
• \(t\% + 2\% \), Le taux d’intérêt dans la banque BETA.
a) Un an après avoir déposé son capital initial dans la banque ALPHA, il obtient la somme : \({S_1} = 1000000\) \(\left( {1 + \frac{t}{{100}}} \right)\)
b) Un an après avoir déposé \({S_1}\) dans la banque BETA, il obtient la somme :
\({S_2} = {S_1} + \) \(\left( {\frac{2}{{100}} + \frac{t}{{100}}} \right){S_1}\) \( = 1123500\)
c) On obtient l’équation :
\(100{t^2} + 20200t\) \( - 130500 = 0 \Leftrightarrow \) \({t^2} + 202t - \) \(1035 = 0\)
En en déduit que: \(t = 5\).
2) Déterminons le prix unitaire de chaque espèce de bête.
Notons par :
• \(x\) le prix d’un poussin.
• \(y\) le prix d’un pourceau.
• \(z\) le prix d’un Chevreau.
On obtient le système suivant :
\(60x + 25y + 10z\) \( = 195000\)
\(50x + 20y + 30z\) \( = 2450004\)
\(60x + 20y + 20z\) \( = 210000\)
Soit
\(12x + 5y +\) \( 2z = 39000\)
\(5x + 2y + 3z\) \( = 24500\)
\(3x + y + z \) \(= 10500\)
On trouve \(x = 500\) ; \(y = 5000\) et \(z = 4000\). Donc, un poussin coûte 500 FCFA, un pourceau 5000 FCFA et un Chevreau 4000 FCFA.
3) Vérifions si la proposition de l’ami de ce fermier est bonne.
\({S_0} = 1000000\) est le capital initial de ce fermier.
Au bout d’un an, i1 aura : \({S_1} = {S_0} + \frac{{15}}{{100}}\) \({S_0} = 1,15{S_0}\)
Au bout de deux ans, il aura: \({S_2} = {S_1} + \frac{{15}}{{100}}{S_1}\) \( = 1,15{S_1} = {\left( {1,15} \right)^2}{S_0}\)
De proche en proche, on conclut qu’au bout de 8 ans, il aurait obtenu la somme \({S_8} = {\left( {1,15} \right)^8}{S_0}\)
\({S_8} = 3059022,\) \(8625\)
La somme générée au bout de 8 ans aurait été 3 059 022, 8625 FCFA.
Comme 3 059 021,8625 > 3 000 000, alors la proposition de l'ami de ce fermier était bonne.
Présentation : 0,5 pt