Partie l: Évaluation des ressources / 24 points

EXERCICE 1 : Vérification des savoirs / 8 points

1. Définition :
La radioactivité est le phénomène physique par lequel des noyaux atomiques instables (dits radionucléides ou radio-isotopes) se transforment spontanément en d'autres atomes (désintégration) en émettant simultanément des particules de matière (électrons, noyaux d'hélium, neutrons, etc.) et de l'énergie (photons et énergie cinétique). 1 pt
La longueur d’onde est la distance qui sépare deux points consécutifs d’une onde qui vibrent en phase. 1 pt
2. Énonçons la loi de Coulomb :
« La force d’attraction ou de répulsion qui s’exerce entre deux corps A et B de charges électrique q A et q B , placées à la distance AB l’un de l’autre, est proportionnelle aux charges q A et q B et est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare ».
Elle se traduit par la relation \({F_{A/B}} = {F_{B/A}}\) \( = k\frac{{\left| {{q_A}} \right|\left| {{q_B}} \right|}}{{A{B^2}}}\) 1 pt
Énonçons la 2ème loi de Newton : 1 pt
« Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse constante m est égale au produit de la masse par le vecteur accélération ⃗ de son centre d’inertie. ».
Elle se traduit par la relation \(\sum {{{\overrightarrow F }_{ext}}} = m{\overrightarrow a _G}\)
3. D’après la loi de Laplace on a : \(\overrightarrow F = \overrightarrow {Il} \wedge \overrightarrow B \) 1 pt
\(\overrightarrow F \) est la force de Laplace
\(I\) est l’intensité du courant dans le circuit
\(l\) est la longueur de de la portion d circuit qui baigne dans le champ magnétique
\(\overrightarrow B \)est le vecteur champ magnétique
4. Le référentiel d’étude du mouvement d’un satellite géostationnaire est le référentiel géocentrique supposé galiléen. 0,5 pt
5. La résonance d’intensité : est un phénomène qui se traduit par des oscillations d’intensité de grande amplitude soumis à une excitation particulière.
A la résonance d’intensité, la fréquence excitatrice est donné par : \(f = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\) 0,5 pt
6. Répondons par Vrai ou Faux : 2.pts
6.1 : Faux 6.2 : Faux 6.3 Vrai 6.4 :Faux

Exercice 2 : Application directe des savoirs / 8 points

1. Calculons l’intensité du champ électrique créé par la charge q en M : 1,5 pt
\({\overrightarrow E _{M/B}} = \) \(\frac{{kq}}{{M{B^2}}}{\overrightarrow u _{MB}} \Rightarrow \) \({E_{M/B}} = \) \(\frac{{kq}}{{M{B^2}}} = \) \(1,8 \times {10^7}\) N/C

2. On donne \(\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{\alpha M}}\). Déterminons la dimension de \(\alpha \) 1,5 pt
\(\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{\alpha M}}\) \( \Rightarrow \alpha = \frac{{4{\pi ^2}}}{{M{T^2}}}\) \( \Rightarrow \left[ \alpha \right] = \) \(\frac{{{{\left[ r \right]}^3}}}{{\left[ M \right]{{\left[ T \right]}^2}}} = \) \(\frac{{{L^3}}}{{M{T^2}}} = \) \({L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}}\)
3.1- Dérivons l’aspect de la surface : En éclairage stroboscopique, lorsque la fréquence des éclaires est égale celle du vibreur, on observe des rides circulaires concentriques centrés en S. 0.5 pt
3.2- Écrivons l’équation horaire du mouvement de S sachant qu’à t = 0 s, S passe par sa position d’équilibre dans le sens positif des élongations : 2 pts
On a : \({y_S}(t) = a\) \(\sin (2\pi ft + \varphi )\) or à \(t = 0s\) on a \(\left\{ \begin{array}{l}{y_S}(t) = 0\\{{\dot y}_S}(t) \succ 0\end{array} \right.\)
Ce qui permet de conclure que \(\varphi = 0\) et \({y_S}(t) = \) \(2\sin (2\pi ft)\)
Écrivons l’équation horaire du mouvement de M :
On a \({y_M}(t) = 2\) \(\sin (2\pi ft - \) \(\frac{{2\pi }}{\lambda }d)\) or \(\lambda = \frac{v}{f}\) ainsi : \({y_M}(t) = 2\) \(\sin (2\pi ft - \) \(30\pi )\)
3.3- Comparons l’état vibratoire de S et M :
On a : \(\Delta \varphi = {\varphi _M} - \) \({\varphi _S} = - 30\pi \) \( = k\pi \) avec \(k = - 30\) donc les points S et M sont en concordance de phase. 1 pt
4. Déterminons la capacité équivalente C de l’association : 1,5 pt
On a : \(Ceq = {C_1} + \) \({C_2} + {C_3}\) alors \({C_{eq}} = 5 \times {10^{ - 11}}F\)

EXERCICE 3 : Utilisation des savoirs / 8 points

Partie I : Pendule simple / 4 pts

1. Établissons l’équation différentielle et en déduisons l’expression de la période : 2 pts
D’après la 2e loi de Newton on a : \(\overrightarrow P + \overrightarrow T = m{\overrightarrow a _G}\)
Dans la base de Frenet associée au mouvement du pendule on a :
\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}{P_n} = - P\cos \theta \\{P_t} = - P\sin \theta \end{array} \right.\) \( + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}{T_n} = T\\{T_t} = 0\end{array} \right.\) \( = m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_n}\\{a_t}\end{array} \right.\)
A partir de la composante tangentielle
\( - P\sin \theta = m{a_t}\) \( = ml\ddot \theta \Rightarrow \) \(\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0\) avec \(\theta m = {8^o}\), \(\sin \theta \approx \theta \)
La période \({T_0}\) est donnée par : \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}\) \( = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)
2. Montrons que la tension du fil au passage de la verticale est donné par \(T = mg\) \(\left( {3 - 2\cos {\theta _m}} \right)\):
D’après ce qui précède, la projection sur l’axe de la normale donne d’écrire :
\( - P\cos \theta + \) \(T = m{a_n} = \) \(m\frac{{{v^2}}}{l}\) soit \(T = P\cos \theta \) \( + m\frac{{{v^2}}}{l}\)
L’application du théorème de l’énergie mécanique au pendule entre l’instant initial et la position d’équilibre donne : \({v^2} = 2gl\) \(\left( {1 - \cos {\theta _m}} \right)\) pour \(\theta = 0\)
Ainsi il vient que : \(T = mg\) \(\left( {3 - 2\cos {\theta _m}} \right)\)

Partie II : Détermination de l’inductance L d’une bobine / 4 pts

1. Déterminons l’induction L de la bobine :
A la résonance on a : \(N = {N_0} = \) \(\frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \Rightarrow \) \(L = \frac{1}{{4\pi {N^2}C}}\) 1 pt
AN : \(L = 0,056H\)
Déterminons la résistance R du résistor : on a : \(Z = R\) \( = \frac{U}{I}\)
AN : \(R = 50\Omega \) 0,5pt
2. On donne : \(Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}} \)\(Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}} \) Déterminons la dimension de Q
\(Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}} \) \( \Rightarrow \left[ Q \right] = \) \(\frac{1}{{\left[ R \right]}}{\left( {\frac{{\left[ L \right]}}{{\left[ C \right]}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)
\(C = \frac{{It}}{U} \Rightarrow \) \(\left[ C \right] = \frac{{\left[ I \right]\left[ t \right]}}{{\left[ U \right]}}\) et \(e = - L\frac{{di}}{{dt}}\) \( \Rightarrow L = \) \(\frac{{\left[ e \right]\left[ t \right]}}{{\left[ i \right]}}\)
Soit \(Q = \frac{{\left[ U \right]{{\left[ I \right]}^{ - 1}}}}{{\left[ U \right]{{\left[ I \right]}^{ - 1}}}}\) \( = 1\)
Déterminons la nature de la résonance pour \(R = 50\Omega \):
On a : \(Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}} \)
AN : \(Q = 10,09\), la résonance est aiguë car \(Q \succ 10\) 1,5pt
3. Déterminons la largeur de la bande passante :
\(Q = \frac{{{N_0}}}{{\Delta N}} \Rightarrow \) \(\Delta N = \frac{{{N_0}}}{Q} = \) \(140,72Hz\) 0,5pt

Partie II : Évaluation des compétences / 16 points

Situation problème 1 :
Aidons les élèves à relever le défi de leur professeur :
Déterminons une relation entre \(\tan \theta \) et \(\frac{1}{{{d^2}}}\):
La condition d’équilibre permet d’écrire : \(\overrightarrow P + \overrightarrow T \) \( + \overrightarrow T = \overrightarrow 0 \)
D’après la dynamique des forces on a : \(\tan \theta = \frac{F}{P}\) \( \Rightarrow F = mg\tan \theta \)
Par ailleurs la loi de Coulomb donne : \(F = \frac{{k{q^2}}}{{{d^2}}}\)
Il vient donc \(\tan \theta = \) \(\frac{{k{q^2}}}{{mg}}\frac{1}{{{d^2}}}\)
Complétons le tableau :