Partie l: Évaluation des ressources / 24 points

EXERCICE 1 : Vérification des savoirs / 8 points

1. Définition :
La radioactivité est le phénomène physique par lequel des noyaux atomiques instables (dits radionucléides ou radio-isotopes) se transforment spontanément en d'autres atomes (désintégration) en émettant simultanément des particules de matière (électrons, noyaux d'hélium, neutrons, etc.) et de l'énergie (photons et énergie cinétique). 1 pt
La longueur d’onde est la distance qui sépare deux points consécutifs d’une onde qui vibrent en phase. 1 pt
2. Énonçons la loi de Coulomb :
« La force d’attraction ou de répulsion qui s’exerce entre deux corps A et B de charges électrique q A et q B , placées à la distance AB l’un de l’autre, est proportionnelle aux charges q A et q B et est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare ».
Elle se traduit par la relation ${F_{A/B}} = {F_{B/A}}$ $= k\frac{{\left| {{q_A}} \right|\left| {{q_B}} \right|}}{{A{B^2}}}$ 1 pt
Énonçons la 2ème loi de Newton : 1 pt
« Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse constante m est égale au produit de la masse par le vecteur accélération ⃗ de son centre d’inertie. ».
Elle se traduit par la relation $\sum {{{\overrightarrow F }_{ext}}} = m{\overrightarrow a _G}$
3. D’après la loi de Laplace on a : $\overrightarrow F = \overrightarrow {Il} \wedge \overrightarrow B$ 1 pt
$\overrightarrow F$ est la force de Laplace
$I$ est l’intensité du courant dans le circuit
$l$ est la longueur de de la portion d circuit qui baigne dans le champ magnétique
$\overrightarrow B$est le vecteur champ magnétique
4. Le référentiel d’étude du mouvement d’un satellite géostationnaire est le référentiel géocentrique supposé galiléen. 0,5 pt
5. La résonance d’intensité : est un phénomène qui se traduit par des oscillations d’intensité de grande amplitude soumis à une excitation particulière.
A la résonance d’intensité, la fréquence excitatrice est donné par : $f = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}$ 0,5 pt
6. Répondons par Vrai ou Faux : 2.pts
6.1 : Faux 6.2 : Faux 6.3 Vrai 6.4 :Faux

Exercice 2 : Application directe des savoirs / 8 points

1. Calculons l’intensité du champ électrique créé par la charge q en M : 1,5 pt
${\overrightarrow E _{M/B}} =$ $\frac{{kq}}{{M{B^2}}}{\overrightarrow u _{MB}} \Rightarrow$ ${E_{M/B}} =$ $\frac{{kq}}{{M{B^2}}} =$ $1,8 \times {10^7}$ N/C

2. On donne $\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{\alpha M}}$. Déterminons la dimension de $\alpha$ 1,5 pt
$\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{\alpha M}}$ $\Rightarrow \alpha = \frac{{4{\pi ^2}}}{{M{T^2}}}$ $\Rightarrow \left[ \alpha \right] =$ $\frac{{{{\left[ r \right]}^3}}}{{\left[ M \right]{{\left[ T \right]}^2}}} =$ $\frac{{{L^3}}}{{M{T^2}}} =$ ${L^3}{M^{ - 1}}{T^{ - 2}}$
3.1- Dérivons l’aspect de la surface : En éclairage stroboscopique, lorsque la fréquence des éclaires est égale celle du vibreur, on observe des rides circulaires concentriques centrés en S. 0.5 pt
3.2- Écrivons l’équation horaire du mouvement de S sachant qu’à t = 0 s, S passe par sa position d’équilibre dans le sens positif des élongations : 2 pts
On a : ${y_S}(t) = a$ $\sin (2\pi ft + \varphi )$ or à $t = 0s$ on a $\left\{ \begin{array}{l}{y_S}(t) = 0\\{{\dot y}_S}(t) \succ 0\end{array} \right.$
Ce qui permet de conclure que $\varphi = 0$ et ${y_S}(t) =$ $2\sin (2\pi ft)$
Écrivons l’équation horaire du mouvement de M :
On a ${y_M}(t) = 2$ $\sin (2\pi ft -$ $\frac{{2\pi }}{\lambda }d)$ or $\lambda = \frac{v}{f}$ ainsi : ${y_M}(t) = 2$ $\sin (2\pi ft -$ $30\pi )$
3.3- Comparons l’état vibratoire de S et M :
On a : $\Delta \varphi = {\varphi _M} -$ ${\varphi _S} = - 30\pi$ $= k\pi$ avec $k = - 30$ donc les points S et M sont en concordance de phase. 1 pt
4. Déterminons la capacité équivalente C de l’association : 1,5 pt
On a : $Ceq = {C_1} +$ ${C_2} + {C_3}$ alors ${C_{eq}} = 5 \times {10^{ - 11}}F$

EXERCICE 3 : Utilisation des savoirs / 8 points

Partie I : Pendule simple / 4 pts

1. Établissons l’équation différentielle et en déduisons l’expression de la période : 2 pts
D’après la 2e loi de Newton on a : $\overrightarrow P + \overrightarrow T = m{\overrightarrow a _G}$
Dans la base de Frenet associée au mouvement du pendule on a :
$\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}{P_n} = - P\cos \theta \\{P_t} = - P\sin \theta \end{array} \right.$ $+ \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}{T_n} = T\\{T_t} = 0\end{array} \right.$ $= m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_n}\\{a_t}\end{array} \right.$
A partir de la composante tangentielle
$- P\sin \theta = m{a_t}$ $= ml\ddot \theta \Rightarrow$ $\ddot \theta + \frac{g}{l}\theta = 0$ avec $\theta m = {8^o}$, $\sin \theta \approx \theta$
La période ${T_0}$ est donnée par : ${T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}$ $= 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}$
2. Montrons que la tension du fil au passage de la verticale est donné par $T = mg$ $\left( {3 - 2\cos {\theta _m}} \right)$:
D’après ce qui précède, la projection sur l’axe de la normale donne d’écrire :
$- P\cos \theta +$ $T = m{a_n} =$ $m\frac{{{v^2}}}{l}$ soit $T = P\cos \theta$ $+ m\frac{{{v^2}}}{l}$
L’application du théorème de l’énergie mécanique au pendule entre l’instant initial et la position d’équilibre donne : ${v^2} = 2gl$ $\left( {1 - \cos {\theta _m}} \right)$ pour $\theta = 0$
Ainsi il vient que : $T = mg$ $\left( {3 - 2\cos {\theta _m}} \right)$

Partie II : Détermination de l’inductance L d’une bobine / 4 pts

1. Déterminons l’induction L de la bobine :
A la résonance on a : $N = {N_0} =$ $\frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \Rightarrow$ $L = \frac{1}{{4\pi {N^2}C}}$ 1 pt
AN : $L = 0,056H$
Déterminons la résistance R du résistor : on a : $Z = R$ $= \frac{U}{I}$
AN : $R = 50\Omega$ 0,5pt
2. On donne : $Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}}$$Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}}$ Déterminons la dimension de Q
$Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}}$ $\Rightarrow \left[ Q \right] =$ $\frac{1}{{\left[ R \right]}}{\left( {\frac{{\left[ L \right]}}{{\left[ C \right]}}} \right)^{\frac{1}{2}}}$
$C = \frac{{It}}{U} \Rightarrow$ $\left[ C \right] = \frac{{\left[ I \right]\left[ t \right]}}{{\left[ U \right]}}$ et $e = - L\frac{{di}}{{dt}}$ $\Rightarrow L =$ $\frac{{\left[ e \right]\left[ t \right]}}{{\left[ i \right]}}$
Soit $Q = \frac{{\left[ U \right]{{\left[ I \right]}^{ - 1}}}}{{\left[ U \right]{{\left[ I \right]}^{ - 1}}}}$ $= 1$
Déterminons la nature de la résonance pour $R = 50\Omega$:
On a : $Q = \frac{1}{R}\sqrt {\frac{L}{C}}$
AN : $Q = 10,09$, la résonance est aiguë car $Q \succ 10$ 1,5pt
3. Déterminons la largeur de la bande passante :
$Q = \frac{{{N_0}}}{{\Delta N}} \Rightarrow$ $\Delta N = \frac{{{N_0}}}{Q} =$ $140,72Hz$ 0,5pt

Partie II : Évaluation des compétences / 16 points

Situation problème 1 :
Aidons les élèves à relever le défi de leur professeur :
Déterminons une relation entre $\tan \theta$ et $\frac{1}{{{d^2}}}$:
La condition d’équilibre permet d’écrire : $\overrightarrow P + \overrightarrow T$ $+ \overrightarrow T = \overrightarrow 0$
D’après la dynamique des forces on a : $\tan \theta = \frac{F}{P}$ $\Rightarrow F = mg\tan \theta$
Par ailleurs la loi de Coulomb donne : $F = \frac{{k{q^2}}}{{{d^2}}}$
Il vient donc $\tan \theta =$ $\frac{{k{q^2}}}{{mg}}\frac{1}{{{d^2}}}$
Complétons le tableau :