Cette épreuve étalée sur deux pages est constituée de deux parties Indépendantes.

PARTIE A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 : (5 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left( {O;\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} } \right)\)
On considère les points A, B, F et G d’affixes respectives :
\({Z_A} = 1 + i\sqrt 3 \)
\({Z_B} = - 1 - i\sqrt 3 \)
\({Z_F} = 4\)
\({Z_G} = - 4\)
1) Résoudre dans \(C\) l'équation \({z^2} + 2 - \) \(2i\sqrt 3 = 0\) (0,75 pt)
2) Soit \(s\) la similitude directe d'expression complexe \(z' = \left( {1 - i\sqrt 3 } \right)z\)
a) Donner les éléments caractéristiques de \(s\). (0,75pt)
b) Quelles sont les images par \(s\) des points A et B ? (0,5pt)
3) Soit \(\left( \varepsilon \right)\) l’ellipse de foyers A et B et d’excentricité \(e = \frac{1}{2}\).
a) Déterminer une équation de l'image \(s\) de \(\left( {\varepsilon '} \right)\) de \(\left( {\varepsilon } \right)\) par la similitude \(s\). (1 pt)
b) Construire \(\left( {\varepsilon '} \right)\) puis \(\left( {\varepsilon } \right)\) dans le même repère. (1 pt)
4) Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A. B. F el G comme ceux par lesquels passe l'axe focal l’ellipse \(\left( {\varepsilon '} \right)\).
Quelle est la probabilité qu'elle ail choisi deux points de l'axe focal de \(\left( {\varepsilon '} \right)\) ? (1 pt)

Exercice 2 : (5 points)

Soit \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\) une base d'un espace vectoriel \(E\).
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\).
1) Pour \(k\) appartenant à \(R\). on considère l'ensemble \({E_k}\) des vecteurs \(\overrightarrow u \) de \(E\) tels que \(f(\overrightarrow u ) = k\overrightarrow u \)
a) Démontrer que \({E_k}\), est un sous-espace vectoriel de \(E\). (1pt)
b) On suppose que \(f\) vérifie l'égalité \(f^\circ f = 2f\).
Démontrer que \(\overrightarrow u \in {\mathop{\rm Im}\nolimits} f\) si et seulement si \(\overrightarrow u \in {E_2}\) (1 pt)
2) On suppose ici qu'on a:
• \(f(\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = \) \(2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \)
• \(f(\overrightarrow i - \overrightarrow j ) = \) \(2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \)
• \(f(\overrightarrow i - \overrightarrow j + \overrightarrow k )\) \( = \overrightarrow 0 \)
a) Démontrer que \(f(\overrightarrow i ) = 2\overrightarrow i \), \(f(\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j \) et \(f(\overrightarrow k ) = \) \( - 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \) (0,75 pt)
b) Donner la matrice M de \(f\) dans la base \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\) (0,5 pt)
c) Démontrer que \(f^\circ f = 2f\) (0,5 pt)
d) Déterminer par une de ses bases, le noyau \(Kerf\) de \(f\). (0,5 pt)
e) Déterminer l'image \({\mathop{\rm Im}\nolimits} f\)de \(f\). On précisera une de ses bases. (0,75 pt)

Exercice 3 : (5 points)

\(f\) est une fonction définie sur \(\left[ {0;2\pi } \right]\) par \(f(x) = {e^{ - x}}\cos x\)
\(\left( {{C_f}} \right)\) est la courbe de I dans un repère orthogonal ou on abscisse. On a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.
1) Démontrer quo \(f''(x) + 2f'(x)\) \( + 2f(x) = 0\). (0,5 pt)
2) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau des variations. (1,25pt)
3) a) Démontrer qu'on a \( - {e^{ - x}} \le f(x)\) \( \le {e^{ - x}}\). (0,5 pt)
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de \(\left( {{C_f}} \right)\) avec les courbes d'équations \(y = {e^{ - x}}\) et \(y = - {e^{ - x}}\) (0,75 pt)
4) Sur \(\left[ {0;2\pi } \right]\) tracer dans le même repère, les courbes d'équations \(y = {e^{ - x}}\) et \(y = - {e^{ - x}}\) puis la courbe \(\left( {{C_f}} \right)\).
5) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par \(\left( {{C_f}} \right)\) et la courbe d'équation \(y = {e^{ - x}}\) sur \(\left[ {0;2\pi } \right]\). On pourra utiliser la question 1). (1pt)

PARTIE B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation :
Trois gisements de gaz A. B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu à une certaine année (année O) prise comme origine des temps \(t\) (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date \(t = 0 \) et celle du gisement \(C\) légèrement avant. Seulement à la date \(t = 1\), la quantité totale du gaz extraite de chacun de gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.
• Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
• Pour les gisements B et C. les ingénieurs pétrochimistes savent que si \(q(t)\) est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date \(t\), alors le taux d'extraction ou de consommation du gaz du gisement à cette date \(t\) est \(q'(t)\) (milliards de m³ par an).
♦ Au niveau du gisement B, ce taux est \(\left( {\frac{1}{{2t + 1}} + 0,02t} \right)\) milliard de m³ par an.
♦  Au niveau du gisement C. ces taux (aux dates \(t\)) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date \(t=1\) ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :
1) En combien d'années le gisement A s’épuisera-t-il ? (1,5 pt)
2) Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ? (1,5 pt)
3) Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ? ( 1,5 pt)

Présentation : (0,5 pt)