Problème Epreuve et mathématique au bac C et E 2015

Problème : 10 points
Ce problème comporte trois parties indépendantes A, B et C,
Partie A : 3.75 points
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$
On considère l'équation (E) : ${z^3} + 64i = 0$
1) Déterminer une solution ${z_0}$ de (E) telle que : $\overline {{z_0}} = - {z_0}$      0,5 pt
2) Déterminer les deux autres solutions z₁et z₂, de (E), où z₁ a une partie réelle négative. .   1 pt
3) Les points A,‘B et C ont pour affixes respectives :
$- 2\sqrt 3 - 2i$, $2\sqrt 3 - 2i$ et $4i$.
Déterminer la nature du triangle ABC et montrer que les points A. B et C appartiennent à une conique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
4) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f du plan qui à M(z) associe M'(z') tel que : $(z' - 4i) = r.{e^{i\theta }}(z - 4i)$ et qui transforme le point A en B ; r et $\theta$ étant des nombres réels. 0,75pt
Partie B : 5 points
Un triangle équilatéral MNP de côté 2 est divisé en quatre parties par deux droites perpendiculaires passant par son centre de gravité G. (Voir figure ci-contre). On se propose de déterminer la valeur maximale de l'aire A de la partie hachurée.
1. Démontrer que $A = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{6}(x - y)$     0,5 pt
2. Démontrer que $y = \frac{{3x - 1}}{{3(x + 1)}}$    1,5 pt
3. En déduire la valeur maximale de A.    2 pts
4. L’espace est associé à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )$.
On donne : $M(0,2,0)$; $N(\sqrt 3 ,1,0)$; $P(\frac{{\sqrt 3 }}{3},1,\frac{{2\sqrt 6 }}{3})$.
Déterminer le système d’équations cartésiennes de la perpendiculaire au triangle MNP en son centre de gravité.
Partie C :    1.25 Point
f est la fonction numérique d'une variable réelle x définie par :
$f(x) = {e^{2{e^x}}}$
On pose $g(x) = \ln f(x)$
Montrer g est solution d'une équation différentielle du premier ordre que l'on précisera.