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Exercice 1: Mouvements dans les champs de forces et leurs applications

A– Mouvement dans le champ de pesanteur

A.1

- le système étudié est le ballon ,

- Le référentiel est celui du laboratoire donc galiléen,

- La seule force extérieur est son poids,

D’après le TCI

$\overrightarrow P  = m.{\overrightarrow a _G}$  $\Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g$

Projetons cette relation  suivant les différents axes de coordonnées:

${\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} =  - g\\{a_{Gz}} = 0\end{array} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\alpha ) = {v_{0x}}\\{v_y} =  - gt + {v_0}\sin (\alpha )\\{v_z} = 0\end{array} \right.$   $\Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = ({v_0}\cos (\alpha ))t{\rm{  (1) }}\\y =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\alpha )t + {y_0}{\rm{ (2) }}\\z = 0\end{array} \right.$

$t = \frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}}{\rm{ }}$   soit  $y =  - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})^2}$ $+ {v_0}\sin (\alpha )(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})$

Soit  $\color{blue}{y(x) =  - \frac{1}{{10}}{x^2} + x}$

A.2 Jean doit se trouver la position O’( d, -(h₁-h₂))

$- ({h_1} - {h_2}) =$  $- \frac{1}{{10}}{d^2} + d$  $\Leftrightarrow {d^2} - 10d - 2 = 0$

De solution positive d=10,2 m

B– Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

B.1 Montrons que la trajectoire de la particule est circulaire .

La seule force appliquée aux ions est la force de Lorentz puisque l’intensité du poids des ions est négligeable .

 Etudions le mouvement de cette particule dans la base de Frenet supposée galiléenne.

Ainsi ${\overrightarrow F _m} = m{\overrightarrow {.a} _G}$  $\Rightarrow q({\overrightarrow v _0} \wedge \overrightarrow B )$  $= m.({a_t}\overrightarrow t  + {a_n}\overrightarrow n )$

$q.{v_0}B.\overrightarrow n$  $= m.({a_t}\overrightarrow t  + {a_n}\overrightarrow n )$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_n} = \frac{{q.{v_0}.B}}{m}\\{a_t} = 0\end{array} \right.$

La composante tangentielle de l’accélération étant nulle, nous     pouvons conclure aisément que la trajectoire de cette particule est un cercle.

B.2 Expression du rayon

${a_n} = \frac{{v_0^2}}{R}$ $= \frac{{q.{v_0}.B}}{m}$ $\Rightarrow \color{blue}{R = \frac{{{v_0}.m}}{{q.B}}}$

R=1,04 m

B.3 Calcule de la déviation

$l = R\alpha$ $\Rightarrow \alpha  = \frac{l}{R}$

α = 0,17 rad

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Exercice 2 : Systèmes oscillants

A– Oscillateur mécanique

 A.1 Lorsque le système est en équilibre on a :

Pour le solide ( S)

$\overrightarrow P  + \overrightarrow R  + \overrightarrow T  = \overrightarrow 0 {\rm{ (1)}}$ $\Rightarrow \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - m.g\sin (\alpha )\\ - mg\cos (\alpha )\end{array} \right.$  $+ \overrightarrow R \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right. = \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.$

D’après le principe des actions réciproque T=T’

Pour la poulie ( P)

${\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow T ') + {\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow T _1})$  $+ {\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow R _P}) + {\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow P _P}) = 0$

$T'r - Tr + 0 + 0$ $= 0 \Rightarrow T' = {T_1}$

Pour le ressort ( R),

D’après le principe de actions réciproques

T₁=T₂ = k.x₀  . Par substitution, nous avons T=k.x₀

En projetant la relation ( 1 )  suivant Ox, nous avons

$mg\sin (\alpha ) = T = k.{x_0}$

b) Calcule de x₀

${x_0} = \frac{{mg\sin (\alpha )}}{k} = 0,05m$

A.2.1 Calcule de la période propre T₀ des oscillations

$x(t) = 2cos\left( {\sqrt {\frac{k}{{m + \frac{{{J_\Delta }}}{{{r^2}}}}}} .t} \right)$     ${\omega _0} = \sqrt {\frac{k}{{m + \frac{{{J_\Delta }}}{{{r^2}}}}}}$    $\Rightarrow {T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k} + \frac{{{J_\Delta }}}{{k.{r^2}}}}$

A.2.2 Expression de J_Δ

De la relation précédente

${J_\Delta } = {r^2}\left( {\frac{{k.T_0^2}}{{4.{\pi ^2}}} - m} \right)$         ${T_0} = \frac{{20}}{{10}} = 2s$  $\Rightarrow {J_\Delta } = 9 \times {10^{ - 3}}kg.{m^2}$

A.2.3 Equation horaire du mouvement de rotation de la poulie

L’abscisse curviligne est lié à l’angle de rotation par :

$s(t) = r.\theta (t) = x(t)$   $\theta (t) = \frac{{x(t)}}{r}$  $= \frac{{2\cos (2\pi \frac{1}{{{T_0}}}.t)}}{{10 \times {{10}^{ - 2}}}}$ $\Rightarrow$$\theta (t) = 20.\cos (2\pi \frac{1}{{{T_0}}}.t)$

B. Un oscillateur électrique

B.1 Expression des tensions

Aux bornes du condensateur: $u(t) = \frac{{q(t)}}{C}$

Aux bornes de la bobine : $u(t) =  - L\frac{{di(t)}}{{dt}}$

B.2 Equation des oscillations

D’après la loi d’additivité des tension

$\frac{q}{C} + L\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} = 0$ avec  $i(t) = \frac{{dq}}{{dt}}$

B.3 Calcule de la capacité C du condensateur

$\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{{LC}}q = 0$  $\Rightarrow \omega _0^2 = \frac{1}{{LC}} = {(2\pi f)^2}$

$C = \frac{1}{{L.{{(2\pi f)}^2}}} = {10^{ - 14}}F$

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Exercice 3 : Phénomènes corpusculaires et ondulatoires

A– Phénomènes ondulatoires

A.1 Calcule de la célérité

$\lambda  = CT$  $\Rightarrow C = \frac{\lambda }{T} = 5m/s$

A.2 L’immobilité apparente est obtenue pour la fréquence des éclairs égale à la fréquence du vibreur.

${f_e} = f = \frac{1}{T} = 100Hz$

a) On observe une ficelle ayant la forme d’une sinusoïde qui avance sans déformation.

A.3 Calcule de l’ordre d’interférence

$p = \frac{\delta }{\lambda } = \frac{{30}}{5} = 6 \in N$

Les deux points vibrent en phase.

${x_0}(t) = 5\cos (200\pi t)$

B. Effet photoélectrique

B.2 a C’est le potentiel minimal permettant de donner aux électrons une énergie suffisante pour quitter le métal. U₀ = 0,8V

B.2.b Graphiquement l’intensité de saturation vaut

B.3 Calcule de la vitesse maximale des électrons

Nous avons  ${E_{c\max }} = e.{U_0}$  $= \frac{1}{2}mv_{\max }^2$ $\Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {\frac{{2.e.{U_0}}}{{{m_e}}}}$  $= 5,3 \times {10^5}{\rm{m/s}}$

B.1 Traçons la courbe I = f(U)

Exercice 4 : Exploitation des résultats d’une expérience

4.1 Traçons la courbe

 

4.2 Equation cartésienne de la trajectoire

- le système étudié est la bille ,

- Le référentiel est celui du laboratoire donc galiléen,

- La seule force extérieur est son poids,

D’après le TCI

$\overrightarrow P  = m.{\overrightarrow a _G} \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g$

Projetons cette relation suivant les différents axes de coordonnées

${\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} =  - g\end{array} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\\{v_y} =  - gt\end{array} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = {v_0}t{\rm{  (1) }}\\y =  - \frac{1}{2}g{t^2} + h{\rm{ (2) }}\end{array} \right.$

$t = \frac{x}{{{v_0}}}{\rm{ }}$  soit $y =  - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}}})^2} + h$

4.2.b Calcule de la portée maximale

Elle est atteinte pour y=0

$x_m^2 = \frac{{2.v_0^2}}{g}h$

4.3 Déterminons g à partir du graphe

De l’équation précédente, la pente est donnée par :

$p = \frac{{2.v_0^2}}{g}$

Du graphe précédent, nous avons

$p = \tan (\beta )$  $= \frac{{\Delta x_m^2}}{{\Delta h}} = \frac{{4,5 - 2}}{{(90 - 40) \times {{10}^{ - 2}}}} = 5$

$p = 5 = \frac{{2v_0^2}}{g} \Rightarrow$  $\color{blue}{g = \frac{{2.v_0^2}}{5} = 10{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}$

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