---

Exercice 1 Mouvements dans les champs de pesanteur et leurs applications

Partie 1 Mouvement dans le champ de pesanteur.

1.Etude de la tension du fil de suspension du solide.

a) Bilan des forces qui s’exerce sur le   solide (S) lorsque celui-ci est en M.

· Le poids  \(\overrightarrow P \)

         · La tension du fil \(\overrightarrow T \)

 b) Expression de la tension T_M

Supposons le référentiel de Frenet galiléen et appliquons y le théorème du centre d’inertie

\(\overrightarrow P  + \overrightarrow T  = m.{\overrightarrow a _G}\)  \( \Leftrightarrow \overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\cos (\alpha )\\mg\sin (\alpha )\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}{T_M}\\0\end{array} \right.\)  \( = m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_n} = \frac{{v_M^2}}{l}\\{a_\tau } = \frac{{d{v_M}}}{{dt}}\end{array} \right.\)

Suivante la direction de \(\overrightarrow n \) nous avons :

\( - mg\cos (\alpha ) + {T_M}\) \( = m.\frac{{v_M^2}}{l}\)  \( \Rightarrow {T_M} = mg\cos (\alpha ) + m.\frac{{v_M^2}}{l}\)

c) Le fil restera tendu si et seulement si T≥0: soit

\({T_C} = mg\cos (\alpha )\) \( + m.\frac{{v_C^2}}{l} \ge 0 \Rightarrow \) \(v_C^2 \ge  - l.g.\cos (\alpha )\)

Le plus petite valeur de la tension est obtenue au point C,

Pour \(\alpha  = \pi {\rm{rad }}\) soit \({v_C} = \sqrt { - l.g.\cos (\pi )} \) \( = \sqrt {l.g} \)

Soit v_C=2,45m/s

2. Les équations horaires littérales du mouvement de (S) après sa libération, dans le repère (O, x, z) du plan verticalNoter que droite d’action de la vitesse en O est tangent au cercle et toutes droites tangente à un cercle est perpendiculaire à son rayon.

Supposons le référentiel (O, x, y) et appliquons y le théorème du centre d’inertie.

La seule force extérieur appliquée au solide est son poids.

\(\overrightarrow P  = m{\overrightarrow a _G}\)  \( \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow g \)

Projetons la relation (1) suivant les différents axes de coordonnées:

\({\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_{Gx}} = 0\\{a_{Gy}} =  - g\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \overrightarrow v \left| \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos (\beta ) = {v_{0x}}\\{v_y} =  - gt + {v_0}\sin (\beta )\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left| \begin{array}{l}x = ({v_0}\cos (\beta ))t{\rm{  (1) }}\\y =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\beta )t{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\)

b) L’Equation de la trajectoire est donc

\(t = \frac{x}{{{v_0}\cos (\beta )}}{\rm{ }}\) Soit \(y =  - \frac{1}{2}g{(\frac{x}{{{v_0}\cos (\alpha )}})^2}\)  \( + {v_0}\tan (\alpha ).x\)

Partie 2: Pendule élastique

2.a) Les intensités de la force électrique

À l’équilibre, nous avons :

\(\overrightarrow P  + \overrightarrow T  + \overrightarrow F  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l} - mg\sin (\theta )\\ - mg\cos (\theta )\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}0\\T\end{array} \right. + \overrightarrow F \left| \begin{array}{l}F\\0\end{array} \right. = \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.\)

Suivant l’axe x’x nous avons :

\(F = m.g\sin (\theta )\)

F=6,84 10^-2 N

Suivant y’y nous avons :

\(T = mg\cos (\theta )\)

T= 18,8 10^-2 N

2.b) Déterminons la valeur algébrique de la tension

\(F = k\frac{{\left| q \right|\left| Q \right|}}{{B{M^2}}}\)  \( \Rightarrow \left| Q \right| = \frac{{F.B{M^2}}}{{k\left| q \right|}}\)

\(\left| Q \right| = 4,75 \times {10^{ - 7}}C\)

Puisqu’il y a attraction entre les deux charges, alors sont de signes contraires.

\(Q =  - 4,75 \times {10^{ - 7}}C\)

---

Exercice 2: Les systèmes oscillants

Partie 1 : Oscillateur mécanique

 

1. Le système est considéré à l’équilibre:

1.a) Montrons qu’on peut écrire \({m_A}g - k\Delta {l_0} = 0\)

Lorsque le système est en équilibre on a :

Pour le solide ( B)

\(\overrightarrow {{P_B}}  + \overrightarrow {{R_B}} \) \( + \overrightarrow {{T_B}}  + {\overrightarrow {T'} _B} = \overrightarrow 0 {\rm{ }}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{P_B}} \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right. + \overrightarrow {{R_B}} \left| \begin{array}{l}0\\R\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow {{T_B}} \left| \begin{array}{l}T\\0\end{array} \right. + {\overrightarrow {T'} _B}\left| \begin{array}{l} - T{'_B}\\0\end{array} \right.\) \( = \overrightarrow 0 \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.\)

Nous avons donc \({T_B} = T = \Delta {L_0}\)

D’après le principe des actions réciproque T_B=T’₂

Pour la poulie ( P)

\({\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow T _2}) + \) \({\mathfrak{M}_\Delta }({\overrightarrow {T'} _2}) = 0\)

\({T_2}r - T{'_2}.r = 0\) \( \Rightarrow {T_2} = T{'_2}\)

D’après le principe des actions réciproque T₂=T₁

\({T_1} = P = {m_A}.g\)

Ainsi : \({m_A}g = P\) \( = {T_1} = {T_2}\) \( = T{'_2} = {T_B}\) \( = T{'_B} = k.\Delta {l_0}\)

\({m_A}g = k.\Delta {l_0}\)

1.b) Evaluons numériquement Δl₀

\({m_A}g = k.\Delta {l_0}\) \( \Rightarrow \color{blue}{ \Delta {l_0} = \frac{{{m_A}g}}{k}}\) \( = 6,25{\rm{cm}}\)

2. Montrons que le solide B effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal

Appliquons le TCI au solide (B) en supposant le référentiel (x B y) galiléen

\(\overrightarrow {{P_B}}  + \overrightarrow {{R_B}} \) \( + \overrightarrow {{T_B}}  + {\overrightarrow {T'} _B}\) \( = {m_B}{\overrightarrow a _G}\)

\(\overrightarrow {{P_B}} \left| \begin{array}{l}0\\ - {m_B}g\end{array} \right. + \) \(\overrightarrow {{R_B}} \left| \begin{array}{l}0\\{R_B}\end{array} \right. + \overrightarrow {{T_B}} \left| \begin{array}{l}{T_B}\\0\end{array} \right.\) \( + {\overrightarrow {T'} _B}\left| \begin{array}{l} - T{'_B}\\0\end{array} \right.\) \( = {m_B}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}{a_G}\\0\end{array} \right.\)

Alors : \({T_B} - T{'_B}\) \( = {m_B}{a_G}{\rm{ (\color{red}{1)}}}\)

La masse de la poulie étant négligeable T₂=T’₂

Appliquons le TCI au solide (A) en supposant le référentiel (x B y) galiléen

\(\overrightarrow P  + \overrightarrow {{T_1}}  = {m_A}{\overrightarrow a _G}\) \(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - {m_A}g\end{array} \right.\) \( + \overrightarrow {{T_1}} \left| \begin{array}{l}0\\{T_1}\end{array} \right.\) \( = {m_A}{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}0\\ - {a_G}\end{array} \right.\)

\( - {m_A}g + {T_1}\) \( =  - {m_A}.{a_G}\) \({\rm{(\color{red}{2)}}}\)

Nous avons montré que T₁=T_B

\({T_1} = {T_B}\) et \(T{'_B} = k(x + \Delta {l_0})\)

Des relations (1) et (2) nous avons :

\({T_1} = {T_B}{\rm{ }}\) \({m_A}.g - {m_A}.{a_G}\) \( = T{'_B} + {m_B}.{a_G}\)

\({m_A}.g - {m_A}.{a_G}\) \( = k(x + \Delta {l_0})\) \( + {m_B}.{a_G}\)

\({m_A}.g - k\Delta {l_0}\) \( = k.x + ({m_A}\) \( + {m_B}).\ddot x\)

\({m_A}.g - k\Delta {l_0} = 0\) \( \Rightarrow k.x + ({m_A}\) \( + {m_B}).\ddot x = 0\)

\(\ddot x + \frac{k}{{{m_A} + {m_B}}}x = 0\)

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation

\(\omega _0^2 = \frac{k}{{{m_A} + {m_B}}}\) et de periode \({T_0} = 2\pi \sqrt {\frac{{{m_A} + {m_B}}}{k}} \)

Partie B Oscillateur électrique

1.Indiquons sur le schéma du circuit comment l’oscilloscope doit être connecté au circuit pour obtenir l’aspect de la figure.

2.Déterminer la fréquence f des deux tensions

\(T = 5div.0,5\frac{{ms}}{{div}}\) \( = 2,5{\rm{m/s}} = 2,5 \times {10^{ - 3}}s\) \(f = \frac{1}{T} = 400Hz\)

3. Le déphasage φ entre les deux tensions est

\(\varphi  = \omega .\Delta t\) \( = 2\pi f.\Delta t\) \( = 0,64{\rm{rad}}\)

La tension u(t) est en avance sur u_R(t).

4. Calcule de l’impédance

\(\cos (\varphi ) = \frac{R}{Z}\) \( \Rightarrow Z = \frac{R}{{\cos (\varphi )}}\)      \(\color{blue}{Z = 125\Omega }\)

Calcule de la capacité du condensateur

\(\tan (\varphi ) = \) \(\frac{{L\omega  - \frac{1}{{C\omega }}}}{R} \Rightarrow \) \(C = \frac{1}{{L{\omega ^2} - R\omega \tan (\varphi )}}\)    \(\color{blue}{C = 3,76\mu F}\)

---

Exercice 3: Phénomènes ondulatoires et corpusculaires.

Partie A: Phénomènes ondulatoires 

1.La longueur d’onde est la distance parcourue  pendant une période ( la distance séparant deux maxima consécutifs de l'amplitude ).

2.a La frange d’ordre \(p' =  - 4,5 \notin Z\) est sombre.

2.b La distance entre le milieu de cette frange et le milieu de la frange centrale

\(d = \left| {p'} \right|i\) \( = \left| {p'} \right|\frac{{\lambda .D}}{a}\)  d=2,7 mm

Partie B: Phénomènes corpusculaires

1.a) Calcule en eV, l’énergie E d’un photon de radiation éclairante

\(E = h.\vartheta  = h\frac{C}{\lambda }\)  \(E = 2,61ev\)

Cette radiation déclenchera l’effet photoélectrique parce que : \(E \ge {W_0}\)

2.a) Equation de désintégration

\({}_{90}^{227}Th \to \) \({}_2^4He + {}_{88}^{223}Ra\)

2.b) Calcule de la masse ∆m de thorium disparue au bout de 54 jours

\(\Delta m = \) \({m_0} - \frac{{{m_0}}}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}\) \( = {m_0}(1 - \frac{1}{{{2^3}}})\)      \(\Delta m = 0,437g\)

---

Exercice 4: Etude d’un pendule et mesure de l’intensité de la pesanteur d’un lieu.

1.a. Il faut en plus :

- un rapporteur, -une ficelle, -un chronomètre.

1.b Protocole expérimental.

Pour chaque masse m₁, m₂ et m₃ , on constitue une pendule. On l’écarte de sa position d’équilibre d’un angle inferieur à 0,14rad, puis on le lâche sans vitesse initiale. On note en suite un nombre constant d’oscillations.

La période est donnée par \(T = \frac{t}{n}\)  où T est la période des oscillations et n le nombre d’oscillations, t le temps mis pour effectuer ces n oscillations. Si T est constant quelque soit la masse m_i, alors la période ne dépend de la masse du pendule.

2. Etude de l’influence de la longueur l du pendule.

 2.a Les élèves mesurent la durée de 10 oscillations au lieu d’en mesurer la durée d’une seule pour minimiser l’erreur sur la mesure du temps.

2.b) Traçons la courbe \(T_0^2 = f(l)\)

 

2.c) Valeur expérimentale de l’intensité du champ de pesanteur

\(T_0^2 = \frac{{4{\pi ^2}}}{g}l\) .  À partir du graphe  \(\tan (\theta )\) \( = \frac{{\Delta T_0^2}}{{\Delta l}}\) \( = \frac{{4 - 1}}{{1 - 0,25}}\) \( = 4\)

Soit \(\frac{{4{\pi ^2}}}{g}\) \( = \tan (\theta ) = 4\) \( \Rightarrow g = \frac{{4{\pi ^2}}}{4}\) \( = 9,86{\rm{m/s}}\)

---