Baccalauréat
Physique
C & E
2014
Correction
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Exercice 1 : Mouvements dans les champs de forces et leurs applications
Partie A: Action des champs électrique et magnétique sur un faisceau d’électrons
1. Pour que la particule sortent au point O2, il faut que le sens de la force magnétique \({\overrightarrow F _m}\) soit opposé à celui de la force électrique \({\overrightarrow F _e}\).
Si c’est le cas, le vecteur champ magnétique est orienté comme représenté sur la figure ci-contre d’après la règle des trois doigts de la main droite.
2. Pour que les particules ne dévient pas, il faut que la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées soit nulle.
Ainsi: \({\overrightarrow F _m} + {\overrightarrow F _e} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow {F_m} = {F_e}\) \( \Leftrightarrow q{v_0}B = qE\)
soit \({v_0} = \frac{E}{B} = 5,56 \times {10^5}{\rm{m/s}}\)
3.1 Nature du mouvement
La seule force appliquée aux ions est la force de Lorentz puisque l’intensité du poids des ions est négligeable .
Etudions le mouvement de cette particule dans la base de Frenet supposée galiléenne.
Ainsi \({\overrightarrow F _m} = m{\overrightarrow {.a} _G}\) \( \Rightarrow q({\overrightarrow v _0} \wedge \overrightarrow B )\) \( = m.({a_t}\overrightarrow t + {a_n}\overrightarrow n )\)
\(q.{v_0}B.\overrightarrow n \) \( = m.({a_t}\overrightarrow t + {a_n}\overrightarrow n )\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_n} = \frac{{q.{v_0}.B}}{m}\\{a_t} = 0\end{array} \right.\)
La composante tangentielle de l’accélération étant nulle, nous pouvons conclure aisément que la trajectoire de cette particule est un cercle.
- Expression du rayon
\({a_n} = \frac{{v_0^2}}{R}\) \( = \frac{{q.{v_0}.B}}{m}\) \( \Rightarrow \color{blue}{R = \frac{{{v_0}.m}}{{q.B}}}\)
3.2 Calcule de vmin et vmax
En effet \(CD = {O_1}D - {O_1}C\) \( \Rightarrow CD = 2{R_{\max }} - 2{R_{\min }}\) \( = 2\left( {\frac{{m.{v_{\max }}}}{{q.B}} - \frac{{m.{v_{\min }}}}{{q.B}}} \right)\) \( \Rightarrow {v_{\max }} - {v_{\min }} = \frac{{CD.q.B}}{{2.m}}\)
On a également donné :
\({v_0} = \frac{{{v_{\min }} + {v_{\max }}}}{2}\) \( \Rightarrow {v_{\max }} + {v_{\min }} = 2{v_0}\)
D’où le système suivant
\(\left\{ \begin{array}{l}{v_{\max }} - {v_{\min }} = \frac{{CD.q.B}}{{2m}}\\{v_{\max }} + {v_{\min }} = 2{v_0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{v_{\max }} = {v_0} + \frac{{CD.q.B}}{{2m}} = 5,60 \times {10^5}{\rm{m/s}}\\{v_{\min }} = {v_0} - \frac{{CD.q.B}}{{2m}} = 5,53 \times {10^5}{\rm{m/s}}\end{array} \right.\)
Partie B: Chariot entrainé par un solide
1. Le système étant immobile, le solide (S) est donc en équilibre. On peut donc écrire
\(\overrightarrow {P'} + \overrightarrow {T'} = Mg.\overrightarrow j \) et \(\overrightarrow T = \overrightarrow {{T_1}} \)
La poulie étant de masse négligeable, on a : \(\overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow {{T_1}} \)
Soit : \(\overrightarrow T = Mg.\overrightarrow i \)
2. Lorsque le chariot est lâché, celui-ci est entrainé par le solide (S). Alors la valeur de la tension \(\overrightarrow {T'} \) du fil est inferieure au poids du solide (S). La poulie étant de masse négligeable, la valeur de la tension \(\overrightarrow T \) est modifiée comme celle de \(\overrightarrow {T'} \) , alors \(\overrightarrow T \) garde la même direction, le même sens mais diminue d’intensité.
3. Expression de la vitesse et de l’accélération
\(\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow v _{GS}} = - {v_{GS}}.\overrightarrow j = - {v_G}.\overrightarrow j \\{\overrightarrow a _{GS}} = - {a_{GS}}.\overrightarrow j = - {a_G}.\overrightarrow j \end{array} \right.\)
4. Application de la loi de Newton
Appliquons le TCI au chariot dans le référentiel terrestre supposée galiléen :
Pour le solide ( C) \(\overrightarrow R + \overrightarrow P + \overrightarrow T \) \( = m.{\overrightarrow a _G}{\rm{ (\color{red}{1})}}\)
Pour le solide ( S) \(\overrightarrow {P'} + \overrightarrow {T'} \) \( = M.{\overrightarrow a _G}{\rm{ (\color{red}{2})}}\)
5. Expression de l’accélération
D’après (1) nous avons: \(T = m.{a_G}\)
D’après (2) nous avons : \(T' - P' = M.{a_G}\) \( \Rightarrow m.{a_G} - M.g\) \( = M{a_G}\) \({a_G} = \frac{M}{{m + M}}.g\) \(T = \frac{{m.M}}{{m + M}}g\)
Exercice 4: Exploitation des résultats d’une expérience
1. Deux applications de la radioactivité .
- Datation au carbone 14;
- Radiothérapie
2. Activité d’un échantillon radioactif: Nombre moyen de désintégration par unité de temps.
Montrons que \(A = \lambda .N\)
\(A = - \frac{{dN}}{{dt}}\) avec \(N = {N_0}{e^{ - \lambda t}}\) \( \Rightarrow A = \lambda N\)
3. Traçons le graphe ln(A)=f(t)
| t(j) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| ln(A) | ln(A0) | 25,83 | 24,03 | 22,23 | 20,43 | 18,62 | 16,83 | 15,03 |
4. Déterminons la constance radioactive λ et A0
- Détermination de λ
\(A = {A_0}{e^{ - \lambda t}}\) \( \Leftrightarrow \ln A = - \lambda t + \ln {A_0}\)
\(\ln A = f(t){\rm{ }}\) est une droite de pente \({\rm{ - }}\lambda \) avec \(tan\alpha = \frac{{\Delta \ln A}}{{\Delta t}}\) \( \Leftrightarrow \tan \alpha = - 0,18\)
\(\color{blue}{\lambda = 0,18jour{s^{ - 1}}}\)
Détermination de A0
Graphiquement, on lit ln A0 = 27,5 soit A0 =8,77 1011 Bq
5. Déduisons le volume V0 et la demi-vie T
\({V_0} = n{V_m}{\rm{ }}\) or \(n = \frac{{{N_0}}}{{{N_A}}}\) \( \Leftrightarrow {V_0} = \frac{{{N_0}.{V_m}}}{{{N_A}}}\)
par ailleurs \({{\rm{A}}_{\rm{0}}} = \lambda {N_0}\) \( \Leftrightarrow {N_0} = \frac{{{A_0}}}{\lambda }\) or \({V_0} = \frac{{{A_0}.{V_m}}}{{\lambda .{N_A}}}\)
\(\color{blue}{{V_0} = 1,75 \times {10^{ - 5}}L}\)
Demi-vie : \(T = \frac{{\ln 2}}{\lambda } = 3,9j\)
