L’épreuve est constituée de 3 exercices et d’un problème que Chaque candidat traitera obligatoirement.
Exercice 1 / (3 points)
Dans l'espace orienté et rapporté a un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k )$, A, B, C et D sont 4 points tels que A, B et C soient non alignés. On pose $\overrightarrow u =$ $\overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC}$
1. Déterminer l'ensemble ($\Gamma$) des points M de L’espace tels que $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = O$. 0,75pt
2. On donne pour toute la suite de l'exercice ; A(1 ; 2 ; 1), B(2 ; 1 ; 1), C(0; 1 ;-1) et D(2 ; 4 : 1).
a. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 0,75pt
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 0,75pt
c. Déterminer l'expression analytique de la réflexion par rapport au plan (ABC). 0,75pt

Exercice 2 / 4 points.
1. Résoudre dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres Complexes. l'équation : ${z^2} - (1 - 2i)z$ $+ 1 + 5i = 0$. 1pt
2. On suppose le plan Complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$, A et B sont les points d’affixes respectives ${z_A} = 2 - 3i$ et ${z_B} = - 1 + i$.
a. Soient $(\zeta )$ le cercle de centre A et de rayon 7 et $(\zeta ')$ le cercle de centre B et de rayon 1.
i. Montrer que tout point du cercle $(\zeta ')$ est intérieur au cercle $(\zeta )$. 0,5pt
ii. Soit $(\zeta '')$ un cercle de centre $\Omega$, extérieurement tangent à $(\zeta ')$ et intérieurement tangent à $(\zeta ')$. Justifier que $\Omega A + \Omega B$ $= 8$. 0,5pt
b. O’ désigne le milieu de [AB] : on pose $\overrightarrow i = \frac{{\overrightarrow {BA} }}{{AB}}$ et on désigne par $\overrightarrow j$ le vecteur unitaire tel que $(O',\overrightarrow i ,\overrightarrow j )$ soit un repère orthonormé direct auquel le plan est maintenant rapporté. On pose $\overrightarrow {O'\Omega } =$ $x\overrightarrow i + y\overrightarrow j$ où $x \in \left[ { - 4,4} \right]$ et on désigne par (D), la droite d'équation : $x = \frac{{32}}{5}$
i) Justifier que $\Omega A =$ $\sqrt {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {y^2}}$, $\Omega B =$ $\sqrt {{{\left( {x + \frac{5}{2}} \right)}^2} + {y^2}}$ . 0,5pt
ii) Montrer que : $\Omega A + \Omega B$ $= 8 \Rightarrow \Omega A$ $= - \frac{5}{8}x + 4$. 0,75pt
iii) En déduire que si $\Omega A + \Omega B$ $= 8$ alors $\frac{{\Omega A}}{{d(\Omega ;(D))}} = \frac{5}{8}$ et donner la nature de la conique à laquelle $\Omega$ appartient. 0,75pt

Exercice 3 / 3 points
Une urne contient 7 boules noires et 7 boules jaunes indiscernables au toucher. On tire au hasard et successivement avec remise, n boules de cette urne avec $n \succ 1$.
l. Calculer la probabilité d’obtenir des boules de même couleur. 0,75pt
2. Justifier que la probabilité p d’obtenir exactement une boule noire est : $p = \frac{n}{{{2^n}}}$ 0,75pt
3. On désigne par $({u_n})$ la suite définie par ${u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}$ avec $n \succ 1$. Soit n un entier strictement supérieur à 1 :
a. Calculer $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ et en déduire que la suite ${({u_n})}$ est décroissante. 0,75pt
b. Montrer que la suite ${({u_n})}$ converge vers 0 0,75pt

Problème (10 points).
On considère la fonction g définie dans l'intervalle $\left] {0; + \infty } \right[$ par $g(x) = {x^2}$ $+ \ln x$.

Partie A (3 points).
(${E_0}$) et ($E$) sont les équations différentielles définies par : (E0) : v $v(x) +$ $xv'(x) = 0$
($E$): $v(x) +$ $xv'(x) =$ $3{x^2} +$ $\ln (x) + 1$ où $v$ est une fonction définie et dérivable dans l'intervalle $\left] {0; + \infty } \right[$ et $v'$ sa dérivée.
1. Vérifier que g est une solution de ($E$) et justifier que la fonction u définie dans $\left] {0; + \infty } \right[$ par $u(x) = \frac{1}{x}$ est une solution de (${E_0}$) . 1pt
2. Soit $\omega$ une autre solution de (${E_0}$) et k la fonction définie dans l'intervalle $\left] {0; + \infty } \right[$ par $k = \frac{{\omega (x)}}{{u(x)}}$.
a. Montrer que k est une fonction constante et en déduire toutes les solutions de (${E_0}$). 1pt
3. Soit h une fonction définie et dérivable dans $\left] {0; + \infty } \right[$
a. Montrer que h est solution de ($E$) si et seulement si $h - g$est solution de (${E_0}$). 0,5pt
b. Déduire la forme générale des solutions de ($E$). 0,5pt

Partie B /1,75 point.
1. Étudier les variations de la fonction g. 1pt
2. En déduire que :
a. L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\left] {0; + \infty } \right[$ une unique solution $\alpha$ et justifier que ${\alpha _0} = 0,65$ est une valeur approchée de $\alpha$ à ${10^{ - 2}}$ près par défaut. 0,5pt
b. $g(x) \succ 0$ $\Leftrightarrow x = \alpha$. 0,25pt

Partie C /5,25 points.
Pour toute la suite, f est la fonction définie dans l’intervalle $\left] {0; + \infty } \right[$ par $f(x) =$ $\sqrt {{x^2} + {{\ln }^2}(x)}$ et on désigne par $({\xi _f})$, sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )$. La fonction g reste la même.
1. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 0,5pt
2. Déterminer $f'$ et vérifier que pour tout réel $x \succ 0$, $f'(x) = \frac{{g(x)}}{{xf(x)}}$. ’ 0,5pt
3. Dresser le tableau de variation de f. 0,5pt
4. a. Montrer que la droite d'équation $y = x$ est asymptote oblique à $({\xi _f})$ en $+ \infty$. 0,5pt
b. Tracer $({\xi _f})$ avec soin. (unités d'axe : 1,5 cm ; Prendre $\alpha = 0,6$). 1pt
5. Soit M(x ; y) un point de la courbe représentative de la fonction : $x \mapsto \ln (x)$.
a. Justifier que $OM =$$f(x)$ 0,25pt
b. En déduire l'abscisse du point M en lequel la distance OM est minimale. 0,25pt
6. Soit x un réel strictement positif,
a. Justifier que $x \le f(x)$. 0,25pt
b. Montrer que $\sqrt {{x^2} + {{\ln }^2}(x)}$ $- x \le \frac{{{{\ln }^2}(x)}}{{2x}}$. 0,5pt
7. a. Déduire que : $\frac{3}{2} \le$ $\int_1^2 {f(} x)dx$ $\le \frac{1}{6}{\ln ^3}(2)$ $+ \frac{3}{2}$ 0,5pt
b. En déduire en unité d'aire, une valeur approchée a ${10^{ - 1}}$ prés par défaut de l'aire de la portion du plan constituée des points M(x ; y) tels que : $\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\0 \le y \le f(x)\end{array} \right.$ 0,5 pt