Contenu 1
Pour déterminer l’angle \(\alpha \), on place la règle sur le vecteur force \(\overrightarrow F \), on la rote dans le sens contraire de celui de déplacement des aiguilles d'une montre jusqu’au sens du vecteur \(\overrightarrow {AB} \) . L’angle balayé est l’angle \(\alpha \).
Calcule du travail de la force \({\overrightarrow F _1}\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _1}) = \) \({F_1}.AB.\cos (\alpha ) = \) \( - {F_1}.AB.\cos ({20^0})\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _1}) = - 58,72J\)
La force \(\overrightarrow {{F_1}} \) est résistante
Calcule du travail de la force \(\overrightarrow {{F_2}} \)
\(\cos (\alpha ) = \) \(cos({360^0} - {20^0})\) \( = cos({20^0})\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _2}) = \) \({F_2}.AB.\cos (\alpha ) = \) \({F_2}.AB.\cos ({20^0})\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _2}) = 30,54J\)
La force \(\overrightarrow {{F_2}} \) est motrice.
Calcule du travail de la force \(\overrightarrow {{F_3}} \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _3}) = - {F_3}.AB\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _3}) = - 100J\)
La force \({\overrightarrow F _3}\) est résistante
Calcule du travail de la force \({\overrightarrow F _1}\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _1}) = \)\({F_1}.AB\cos ({120^0}) = \)\( - 32,25N\)
La force \(\overrightarrow {{F_1}} \) est résistante
Calcule du travail de la force \(\overrightarrow {{F_3}} \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _3}) = \) \({F_3}.AB\cos ({180^0})\) \( = - 100J\)
La force \(\overrightarrow {{F_3}} \) est résistante.
Calcule du travail de la force \(\overrightarrow {{F_2}} \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}({\overrightarrow F _2}) = \) \({F_2}.AB\cos ({270^0}) = 0J\)
La force \({\overrightarrow F _2}\) ne travaille pas.
On a dit en Seconde que la condition d’équilibre ne s’applique qu’au solide au repos, c'est-à-dire v=0. Retenons que lorsque le solide est en mouvement rectiligne uniforme v = cte, on peut aussi l’appliquer
D’après la condition d’équilibre \(\overrightarrow F + \overrightarrow R + \overrightarrow P = \overrightarrow 0 {\rm{ (1)}}\)
Pour la réaction, \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow R ) = \) \(R.AB.cos(\frac{{3\pi }}{2}) = 0\)
NB: Faites l’application numérique.
Exercice III
Le système étudié est une charge de masse m.
Il est soulevé verticalement d’un point A à un point B
Le mouvement est rectiligne uniforme. Alors:
\(\sum {{{\vec F}_{ext}} = \vec T + \vec P = } \vec 0{\rm{ (1)}}\)
\(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - P\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}0\\T\end{array} \right. = \overrightarrow O \left| \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right.\)
Projetons la relation (1) suivant l’axe 0z D’où T=P=mg.
Le travail de la force de traction \(\overrightarrow T \) vaut donc:
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F ) = \overrightarrow T .\overrightarrow {AB} \) \( = T.AB.\cos (\overrightarrow T .\overrightarrow {AB} )\) \( = mg.AB\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) = 50.5.10\) \( = 2500J\)
Le travail du poids \(\overrightarrow P \) vaut dont:
\({W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\vec P} \right) = \vec P.\overrightarrow {AB} \) \( = P.AB.\cos (\overrightarrow P ,\overrightarrow {AB} )\) \( = P.AB.\cos (\pi) \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = - mg.AB\)\( \Rightarrow \) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = - 2500j\)
2ième cas: Le solide est tracté sur un plan incliné;
D’après la condition d’équilibre \({\rm{\vec P + \vec R + \vec T = \vec 0}}\)
\({\rm{\vec P}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ - Psin}}\alpha }\\{{\rm{ - Pcos}}\alpha }\end{array}} \right) + \) \(\vec R\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\R\end{array}} \right) + \) \(\vec T\left( {\begin{array}{*{20}{c}}T\\0\end{array}} \right) = \vec 0\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right)\)
NB: Pour les angles, voir exercice 1
Suivant l’axe x’x \( - P\sin \alpha + 0 + T = 0\) \( \Rightarrow T = mg.\sin \alpha \)
Suivant l’axe y’y \( - P\cos \alpha + R + 0 = 0\) \( \Rightarrow R = mg\cos \alpha \)
Le travail de la tension vaut donc: \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) = \overrightarrow T .\overrightarrow {AB} \) \( = T.AB\cos (\overrightarrow T ,\overrightarrow {AB} )\) \( = T.AB\) \( = mg.AB.\sin (\alpha )\) \( \Rightarrow {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) = 2500j\)
Le travail du poids devient donc :\({W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\vec P} \right) = \vec P.\overrightarrow {AB} \) \( = P.AB\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = - mg.h\) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = - 2500j\).
Conclusion: En mouvement rectiligne uniforme, la somme des travaux des forces extérieurs appliquées à un solide est nulle
1ier cas: \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) + {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P )\) \( = 2500j - 2500j = 0\)
2ième cas \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) + {W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow T ) + \) \({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow R ) = \) \( - 2500j + 2500j + 0 = 0j\)
1ier cas: \(T = mg = 500N\)
2ième cas: \(T = mg.\sin (\alpha ) = 250N\).
Bien que le travail à fournir soit le même, la force de traction à exercer sur la corde est plus faible sur le plan incliné. Le plan incliné fait partir des machines simples qui ont permis aux hommes et permettent de soulever les charges importantes.
Contenu 2
1. Représentons d dans chaque cas.
(a).\(d = AB\sin ({60^0})\)
Moment de la force \(\mathfrak{M} = FAB.\sin ({60^0})\)
Le point B a effectué 5 tours, l’angle balayé vaut: \(\alpha = 2\pi .n = 10\pi .rad\)
\(W(\overrightarrow F ) = \mathfrak{M}(\overrightarrow F ).\alpha \) \( = F.AB.\sin ({60^0}).10\pi \)
L’angle balayé par le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) vaut 100. En radian, l’angle balayé vaut:
\(\left\{ \begin{array}{c}2\pi {\rm{ }}rad. \to {360^0}\\\alpha . \to {10^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) \(\alpha = \frac{{20\pi }}{{360}} = \frac{\pi }{{18}}rad\)
\(W(\overrightarrow F ) = \mathfrak{M}(\overrightarrow F ).\alpha \) \( = F.AB.\sin ({60^0}).\frac{\pi }{{18}}\)
(b).\(d = AB\cos ({30^0})\)
Moment de la force : \(\mathfrak{M}(\overrightarrow F ) = F.d\) \( = FAB.\cos ({30^0})\)
L’angle balayé par le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) vaut 100
\(W(\overrightarrow F ) = \mathfrak{M}(\overrightarrow F ).\alpha \) \( = F.AB.cos({30^0}).\frac{\pi }{{18}}\)
(c) .\(d = AB\)
Moment de la force \(\mathfrak{M}(\overrightarrow F ) = - F.AB\)
La force \(\overrightarrow F \) fait tourner la barre dans le sens contraire au sens positif de rotation, d’où le signe moins.
Le point B a effectué 5 tours, l’angle balayé vaut 10π rad:
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F ) = - F.AB.\alpha \) \( = - 10.F.AB\pi \)
L’angle balayé par le vecteur vaut 100
\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow F ) = - F.AB.\alpha \) \( = - F.AB\frac{\pi }{{18}}\)
3 Calcule des puissances développées
- Le point B a effectué 5 tours. \(P = \frac{{W(\overrightarrow F )}}{t}\) \( = \frac{{F.AB.\sin ({{60}^0}).10\pi }}{{10 \times 60}}\)
\({\mathfrak{M}_\Delta }(\overrightarrow T ) = 0\) Car la droite d’action de la force \(\overrightarrow T \) passe par l’axe de rotation \(\Delta \) alors, d=0.
(a) Travail de la boule lorsqu’elle part du point A pour le point B
La boule effectue un mouvement de rotation autour de l’axe \(\Delta \) , le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi. ZA=h et ZB=0
\({W_{AB}}(\overrightarrow P ) = - mg.({Z_B} - {Z_A})\) \( = mgh\) \( = mgl(1 - cos({\theta _{\max }}))\)
(b) Travail de la boule lorsqu’elle part du point B pour le point C
\({W_{BC}}(\overrightarrow P ) = - mg.({Z_C} - {Z_B})\) \( = - mgh\) \( = - mgl(1 - cos({\theta _{\max }}))\)
(c) Travail de la boule lorsqu’elle part du point A pour le point C
\({W_{AC}}(\overrightarrow P ) = - mg.({Z_C} - {Z_A})\) \( = - mg(h - h) = 0\)
Contenu 3
En mouvement rectiligne uniforme (MRU) la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle, ainsi:
Si nous divisons la relation précédente par le temps mis par le solide pour parcourir la le trajet AB, nous avons
1. De la relation précédente,
La puissance du poids est nulle:\({W_{\overrightarrow {AB} }}(\overrightarrow P ) = 0\)
On a donc:
PR puissance de la réaction: \({P_{\overrightarrow R }} = (\overrightarrow {{R_N}} + \overrightarrow f ).\overrightarrow v = - f.v\)
PF puissance de la force motrice ou puissance développée
Calcule du travail de la force de frottement:
2. Calcule de l’intensité de la force de frottement.
Contenu 4
Aller plus loin
a) Détermination de a et b
Le mouvement du solide étant rectiligne uniforme, nous avons :
\(\overrightarrow P + \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) \( = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_2}} = \) \( - \overrightarrow P - \overrightarrow {{F_1}} \)
Ainsi
\(\overrightarrow {{F_2}} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow k \) \( = mg\overrightarrow k - 100\overrightarrow i \) \( + 70\overrightarrow k \)
Par identification, on a :
\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 100\\b = mg + 70\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 100\\b = 570\end{array} \right.\)
b) Calcule des travaux des forces exterieures appliquees au solide
Calcule du travail du poids
\({W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\overrightarrow P } \right) = \) \(\overrightarrow P .\overrightarrow {AB} = \) \( - mg\overrightarrow k .\left( { - 5\overrightarrow i - 6\overrightarrow k } \right)\) \( = - mg\overrightarrow k .\left( { - 6\overrightarrow k } \right)\) \( = 6mg\) \( = 3000J\)
Calcule du travail de \(\overrightarrow {{F_1}} \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right) = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB} \) \( = \left( {100\overrightarrow i - 70\overrightarrow k } \right).\) \(\left( { - 5\overrightarrow i - 6\overrightarrow k } \right) = \) \(\left( \begin{array}{l}100\\ - 70\end{array} \right)\left( \begin{array}{l} - 5\\ - 6 \end{array} \right)\) \( = - 500 + 420\) \( = - 80J\)
Calcule du travail de \(\overrightarrow {{F_2}} \)
\({W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right) = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB} \) \( = \left( { - 100\overrightarrow i + 570\overrightarrow k } \right)\) \(.\left( { - 5\overrightarrow i - 6\overrightarrow k } \right)\) \( = \left( \begin{array}{l} - 100\\570\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}- 5\\ - 6\end{array} \right)\) \( = 500 - 3420\) \( = - 2920J\)
Remarque : la somme des travaux est nulle.
c) Calcule de la puissance du poids
Par définition \(P = \frac{{{W_{\overrightarrow {AB} }}\left( {\overrightarrow P } \right)}}{t}\) \( = 1500W\)
