Objectif: Déterminer les caractéristiques d’un système ou d’une particule dans un champ de force uniforme.
II Notion de référentiel
Un référentiel est tout objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un corps. Il est constitué d’un repère de date et d’un repère d’espace.
— Un repère d’espace est un système d’axes d’origine O et orientés dans trois directions
— Un repère de date permet de savoir à quel instant la particule occupe une position donnée de sa trajectoire.
Une particule est alors repérée dans ce référentiel par le vecteur: \(\overrightarrow {OM} = x(t)\overrightarrow i + y(t)\overrightarrow j + z(t)\overrightarrow k \) dont la norme est : \(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \). où x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M à l’instant t.
On distingue plusieurs types de référentiel :
Le référentiel de Copernic ou référentiel stellaire : il est formé par le centre de gravité du système solaire et par trois étoiles très lointaines de l’univers, il permet d’étudier le mouvement des planètes.
Le référentiel de Coriolis ou référentiel géocentrique : il est constitué par le centre de la terre et par trois étoiles lointaines de l’univers , il permet d’étudier le mouvement de toutes les particules qui gravitent autour de la terre
Le référentiel terrestre : il est constitué d’un point quelconque de la surface de la terre et de trois directions fixes, approprié pour l’étude locale des mouvements des particules.
III Grandeurs cinématiques du mouvement
La cinématique est l’étude des mouvements des corps au cours du temps indépendamment des causes ( forces ) qui les produisent.
III.1 Le vecteur position
Considérons un repère \(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lié à un référentiel ( R ), la particule logée en M peut être repérée à chaque instant par son vecteur position. \(\overrightarrow {OM} = x(t)\overrightarrow i + y(t)\overrightarrow j + z(t)\overrightarrow k \)
Ce vecteur dépend explicitement du système d’axe choisi.
Si le repère est orthonormé, x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M.
- Si le mobile M est immobile dans le repère \(O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), ses coordonnées sont indépendantes du temps.
- Si M est en mouvement dans le repère, ses coordonnées sont fonction du temps. Ainsi x = x(t), y = y(t) et z = z(t) sont appelées équations horaires ou équations paramétriques du mouvement.
- Pour déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire, on élimine la variable temps t entre les paramètres x, y et z.
On peut également déterminer la position de la particule logée en M par son abscisse curviligne s(t) tel que : s(t)=arc(OM).
III.2 Le vecteur vitesse
III.2.1 La vitesse moyenne
Soit un mobile S décrivant une trajectoire (ζ) dans un repère
À l’instant t1 le mobile est à la position M1 et à la position M2 à l’instant t2
La vitesse moyenne entre ces deux instants est donnée par : \[{\overrightarrow v _{moy}} = \frac{{\overrightarrow {{M_1}{M_2}} }}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{{{\overrightarrow {OM} }_2} - {{\overrightarrow {OM} }_1}}}{{{t_2} - {t_1}}}\]
III 2.2 La vitesse instantanée
La connaissance de la vitesse moyenne ne permet pas de connaître la vitesse du mobile en un instant précis de sa trajectoire, d’où la vitesse instantanée.
Le vecteur vitesse est défini comme étant la dérivée première du vecteur position par rapport au temps. \[\overrightarrow v = \frac{{d\overrightarrow {OM} }}{{dt}}{\rm{ }}\] avec \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \) ainsi \(\overrightarrow v = \frac{{d(x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k )}}{{dt}}\)\( = \frac{{dx}}{{dt}}\overrightarrow i + \frac{{dy}}{{dt}}\overrightarrow j + \frac{{dz}}{{dt}}\overrightarrow k \)\( = \dot x.\overrightarrow i + \dot y.\overrightarrow j + \dot z.\overrightarrow k \)
\[\overrightarrow v = {v_x}.\vec i + {v_y}.\vec j + {v_z}.\vec k{\rm{ }}\] Ses caractéristiques sont:
- Point d’application : point M où l’on veut définir la vitesse.
- Direction : la tangente en la trajectoire en ce point M
- Sens : celui du mouvement
- Norme : \(v = \sqrt {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2} + {{\dot z}^2}} \)
Elle s’exprime en mètre par seconde m.s-1.
En fonction de l’abscisse curviligne: \[\overrightarrow v = \frac{{d{\rm{ }}s(t)}}{{dt}}\overrightarrow \tau \] avec \(\overrightarrow \tau = \frac{{\overrightarrow v }}{v}\)
où \(\overrightarrow \tau \) est un vecteur unitaire tangent à la courbe et orienté dans le sens de déplacement de la particule en M. \[\overrightarrow v = \frac{{d{\rm{ }}s(t)}}{{dt}}\overrightarrow \tau = v.\overrightarrow \tau \] ainsi, \(\frac{{ds(t)}}{{dt}} = \sqrt {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2} + {{\dot z}^2}} \)
III.3 Le vecteur accélération
III.3.1 Le vecteur accélération moyenne
L’accélération moyenne est donnée par : \[{\overrightarrow a _{moy}} = \frac{{{{\overrightarrow v }_2} - {{\overrightarrow v }_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{\Delta \overrightarrow v }}{{\Delta t}}\]
III.3.2 Le vecteur accélération instantanée
On appelle vecteur accélération d’un point en mouvement à la date t, le vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse. \[\overrightarrow a = \frac{{d\overrightarrow v }}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{d\overrightarrow {OM} }}{{dt}}} \right) = \frac{{{d^2}(\overrightarrow {OM} )}}{{d{t^2}}}\]
En coordonnées cartésiennes, \(\overrightarrow a = \frac{{{d^2}(x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k )}}{{d{t^2}}}\) \( = \frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}\overrightarrow i + \frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}}\overrightarrow j + \frac{{{d^2}z}}{{d{t^2}}}\overrightarrow k \) \( = \ddot x.\overrightarrow i + \ddot y.\overrightarrow j + \ddot z.\overrightarrow k \) \( = {a_x}.\overrightarrow i + {a_y}.\overrightarrow j + {a_z}.\overrightarrow k \). \[a = \sqrt {{{\ddot x}^2} + {{\ddot y}^2} + {{\ddot z}^2}} \]
Elle s’exprime m.s- 2. 
En coordonnées curvilignes, \[\overrightarrow a = \frac{{dv\overrightarrow \tau }}{{dt}} = \frac{{dv}}{{dt}}\overrightarrow \tau + \frac{{{v^2}}}{R}\overrightarrow n = {a_\tau }\overrightarrow \tau + {a_n}\overrightarrow n \]
La base \((\overrightarrow \tau ,\overrightarrow n )\) ainsi définie est appelée base de Frenet et le repère \((M,\overrightarrow \tau ,\overrightarrow n )\) appelé repère de Frenet.
Le vecteur accélération dans cette base a deux composantes:
- La composante tangentielle: \({\overrightarrow a _\tau } = \frac{{dv}}{{dt}}\overrightarrow \tau \)
- La composante normale: \({\overrightarrow a _n} = \frac{{{v^2}}}{R}\overrightarrow n \) \[\overrightarrow a = {\overrightarrow a _\tau } + {\overrightarrow a _n}\].
IV.2 Dynamique du solide en rotation
IV.2.1 Notion de moment d’inertie
Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe ( Δ) est par définition la somme des produits des masses des parties ponctuelles i de ce solide par le carré de la distance de ces parties à l’axe (Δ) \[{J_\Delta } = {m_1}r_1^2 + {m_2}r_2^2 + ... + {m_n}r_n^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}r_i^2} \]
IV.2.2 Théorème de Huygens
Énonce :Le moment d’inertie Jo d’un solide par rapport à un axe quelconque O parallèle à un axe passant par son centre de gravité G est égal au moment d’inertie par rapport à G augmenté du produit md2 ou d est le distance entre G et O
Considérons une tige de longueur l et de masse m, son moment d’inertie par rapport à son centre de gravité G est : \[{J_G} = \frac{1}{{12}}m{l^2}\]
En utilisant le théorème de Huygens, on peut déterminer son moment d’inertie par rapport à O. En effet: \[{J_O} = {J_G} + m{d^2} = \frac{1}{{12}}m{l^2} + m{(\frac{l}{2})^2} = \frac{1}{3}m{l^2}\]
IV.2.3 Paramètres cinématiques du mouvement d’un solide en rotation
Soit un point M mobile sur la circonférence d’un cercle de rayon r.
Pour déterminer la position de M, nous allons choisir arbitrairement sur le cercle une origine A et un sens positif ( le sens contraire à celui de déplacement des aiguilles d’une montre)
s(t)=arc(AM) est appelée abscisse curviligne, \(\widehat {AOM} = \theta \) abscisse angulaire, ωla vitesse angulaire, v la vitesse linéaire , \(\overrightarrow {{a_\tau }} \), la composante tangentielle de l’accélération, \({\overrightarrow a _n}\)la composante normale de l’accélération \({\overrightarrow a _G}\).
\(\dot \theta = \frac{{d\theta (t)}}{{dt}}\) est la vitesse angulaire, \(\ddot \theta = \frac{{d\dot \theta (t)}}{{dt}} = \frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\) est l’accélération angulaire
L’abscisse curviligne est liée à l’abscisse angulaire par la relation \(s(t) = r\theta (t)\) soit \[v = \frac{{ds(t)}}{{dt}} = r\frac{{d\theta }}{{dt}}\] ainsi \(\overrightarrow v = r\frac{{d\theta }}{{dt}}\overrightarrow \tau \)
En fonction de l’abscisse angulaire, l’accélération dans la base de Frenet est donnée par: \[\overrightarrow a = \frac{{d\overrightarrow v }}{{dt}} = r\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\overrightarrow t + \frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \]. \(\overrightarrow a = {a_t}\overrightarrow t + {a_n}\overrightarrow n {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}{a_t} = r\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\\{a_n} = r{\left( {\frac{{d\theta }}{{dt}}} \right)^2}\end{array} \right.\).
IV.2.4 La relation fondamentale de la dynamique d’un solide en rotation
Le moment cinétique d’une particule (S) en M par rapport à un point fixe O ( ou à un axe (Δ)) est le moment de sa quantité de mouvement par rapport à ce point ( ou à cet axe), il est noté σ tel que: \[\overrightarrow \sigma = \overrightarrow {OM} \wedge \overrightarrow P \]
C’est un vecteur dont les caractéristiques sont les suivantes:
Point d’application: le point O
Direction : Perpendiculaire au plan formé par \(\overrightarrow {OM} \) et \(\overrightarrow P \)
Sens: tel que le trièdre \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow P {\rm{ }}\) et \(\overrightarrow \sigma \) soit direct i.e. donné par la règle des
trois doigts ( l’index( sens de \(\overrightarrow P \) ) , le pouce (sens de \(\overrightarrow {OM} \) ) et le majeur ( le sens de \(\overrightarrow \sigma \) ) de la main droite
Intensité: \[\sigma = OM.mv.\left| {\sin (\widehat {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow P })} \right|\]
où σ est en m2. kg.s-1. Le moment cinétique est encore appelé moment angulaire.
IV.2.4.1 Théorème du moment cinétique ou relation fondamentale de la dynamique pour le solide en rotation
En dérivant l’expression du moment cinétique par rapport au temps, nous avons: \(\frac{{d\overrightarrow \sigma }}{{dt}} = \frac{{d(\overrightarrow {OM} \wedge \overrightarrow P )}}{{dt}}\)\( = \frac{{d\overrightarrow {OM} }}{{dt}} \wedge \overrightarrow P + \overrightarrow {OM} \wedge \frac{{d\overrightarrow P }}{{dt}}\)\( = \overrightarrow v \wedge \overrightarrow P + \overrightarrow {OM} \wedge \frac{{d\overrightarrow P }}{{dt}}\)\( = m\overrightarrow v \wedge \overrightarrow v + \overrightarrow {OM} \wedge \frac{{d\overrightarrow P }}{{dt}}\) avec \(\overrightarrow v \wedge \overrightarrow v = v.v\sin (\widehat {\overrightarrow v ,\overrightarrow v })\)\( = v.v\sin (0) = 0\) \[\frac{{d{{\overrightarrow \sigma }_0}}}{{dt}} = \overrightarrow {OM} \wedge \frac{{d\overrightarrow P }}{{dt}} = \overrightarrow {OM} \wedge \left( {\sum {\overrightarrow F ext} } \right)\]
Enoncé:La dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un point fixe d’une particule en mouvement est égale à la somme des moments des forces extérieurs agissant sur cette particule. \[\frac{{d\overrightarrow {{\sigma _0}} }}{{dt}} = {\sum {\overrightarrow {\rm M} } _0}\left( {{{\overrightarrow F }_{ext}}} \right)\]
Si \({\sum {\overrightarrow {\rm M} } _0}\left( {{{\overrightarrow F }_{ext}}} \right) = \overrightarrow 0 \) alors \(\frac{{d\overrightarrow {{\sigma _0}} }}{{dt}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\sigma _0}} = \overrightarrow {cte} \) le système est conservatif et le solide est soumis à des forces centrales.
Si la masse m est constante i.e. ne varie pas avec le temps, en posant \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow r \) la relation précédente devient: \(\sum {{{\overrightarrow {\rm M} }_0}({{\overrightarrow F }_{ext}})} = \frac{{d(\overrightarrow r \wedge \overrightarrow P )}}{{dt}}\) \( = m.\overrightarrow r \wedge \frac{{d\overrightarrow v }}{{dt}} = m.\overrightarrow r \wedge \frac{{d(\overrightarrow r .\mathop {\rm{\theta }}\limits^{\rm{*}} )}}{{dt}}\) \( = m.\overrightarrow {{r^2}} \frac{{d\mathop \theta \limits^* }}{{dt}} = m.\overrightarrow {{r^2}} \mathop \theta \limits^{**} \overrightarrow k \) \[\sum {{{\rm M}_0}({{\overrightarrow F }_{ext}})} = m{r^2}.\frac{{{d^2}\theta }}{{dt}}\]
Considérons à présent un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ), en appliquant à chaque élément de masse mi le théorème précédent, on a : \(\sum {{{\rm M}_\Delta }({{\overrightarrow F }_{ext}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}r_i^2\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}} } \) \( = \frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}r_i^2} = {J_\Delta }\frac{{{d^2}\theta }}{{d{t^2}}}\)
Énoncé du théorème de centre d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe.
La somme algébrique des moments par rapport à l’axe de rotation, des forces extérieures appliquées à un solide en rotation est égale au produit du moment d’inertie du solide par rapport à cet axe par l’accélération angulaire du solide. \[\sum {{{\rm M}_\Lambda }({{\overrightarrow F }_{ext}})} = {J_\Delta }\mathop {\rm{\theta }}\limits^{{\rm{**}}} \]
