Objectifs:
— Étudier le comportement d’un circuit électrique, le siège des oscillations libres ou forcées.
— Établir des analogies mécano-électriques.
I– Quelques rappels: Les grandeurs physiques utilisées en électricité
La tension électrique est la différence de potentielle entre deux points du circuit.
Le courant électrique est la vitesse de déplacement des charges électriques dans un circuit fermé.
Loi d’ohm pour un conducteur ohmique. \({U_{AB}} = RI\)
Loi d’ohm pour un générateur \({U_{PN}} = E - rI\)
Loi d’ohm pour un récepteur \({U_{AB}} = E' + rI\)
En courant alternatif, toutes ces lois restent valables, il faut juste remplacer ’’I’’ par ’’i’’.
Un condensateur est un dipôle comportant deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.
Si C est la capacité du condensateur et q la charge emmagasinée, alors ; \({u_{AB}} = \frac{q}{C}\) avec \({q_A} = - {q_B}\) et \(q = \left| {{q_A}} \right|\)
La bobine est caractérisée par sa résistance interne r et son coefficient d’auto-induction L. 
Elle est représentée \({U_{AB}} = ri + L\frac{{di(t)}}{{dt}}\)
Si r =0, la bobine est appelée inductance pure.
La valeur efficace d’un courant (tension) variable au cours du temps, correspond à la valeur d'un courant continu ( tension continue ) qui produirait un échauffement identique dans une résistance. Elle est notée I (U). \({I_{eff}} = \frac{{{i_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}\) et \({U_{eff}} = \frac{{{u_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}\)
II– Les oscillateurs électriques libres
II.1 Étude de la charge et de la décharge d’un condensateur
Soit le circuit ci-contre constitué d’un générateur ( E, r) d’un interrupteur K, d’une bobine de résistance interne nulle et d’un condensateur relié à un oscilloscope .
Lorsque l’interrupteur est fermé en (1), on constate une augmentation de la tension aux bornes du condensateur: On dit que le condensateur se charge. ( a) est appelé circuit de charge.
L’équation de charge est obtenue en appliquant la lois des mailles dans le circuit de charge. \(u - {u_{AB}} = 0\)\( \Rightarrow \)\(E - ri - \frac{q}{C} = 0\) alors \(E - r\frac{{dq}}{{dt}} - \frac{q}{C}\)\( = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \) \[\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{q}{{rC}} = \frac{E}{r}{\rm{ }}(1)\] C’est une équation différentielle en q(t) de solution.
RQ: Soit à résoudre l’équation:\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{q}{{rC}} = \frac{E}{r}\), posons \(Q = - \frac{q}{{rC}} + \frac{E}{r}\) \( \Rightarrow dQ = - \frac{{dq}}{{rC}}\)
L’équation différentielle devient alors: \( - rC\frac{{dQ}}{{dt}} = Q\) avec pour solution\(Q = {Q_0}\exp ( - \frac{t}{{rC}})\) \( = - \frac{q}{{rC}} + \frac{E}{r}\)
À t=0s le condensateur est totalement déchargé q(0)=0 C,ainsi,\[q(t) = CE(1 - {e^{ - \frac{t}{{rC}}}})\]
La courbe représentative est esquissée comme suit:
Lorsque la charge du condensateur augmente, l’intensité du courant diminue entre ses bornes suivant la loi: \(i(t) = \frac{{dq}}{{dt}} = \frac{E}{r}\exp ( - \frac{t}{{rC}})\)
Sa courbe représentative a l’allure suivante
La constance de temps est une grandeur, homogène à un temps, caractérisant la rapidité de l'évolution d'une grandeur physique dans le temps. particulièrement lorsque cette évolution est exponentielle.
C’est la rapidité avec laquelle le régime permanent est atteint pour une grandeur électrique dont l’évolution est exponentielle.
Pour la charge du condensateur elle est notée \(\tau \) et vaut: \({\tau = rC}\)
C’est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe q(t) à t=0s avec l’asymptote horizontale. \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } q(t) = \)\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } CE(1 - \)\(exp( - \frac{t}{{rC}})) = \)\(CE\) Ainsi, l’asymptote horizontale de la fonction q(t) est q(t)=CE.
La tangente à la courbe q(t) en t=0s est la suivante: \(q(t) = \frac{E}{r}t\)
L’abscisse du point d’intersection de ces deux courbes est: \(\frac{E}{r}\tau = EC \Rightarrow \tau = rC\)
Lorsqu’on ferme le circuit au nœud (2), le condensateur perd progressivement de sa tension: on dit qu’il se décharge et le circuit ( b) est appelé circuit de décharge.
La loi des mailles dans le circuit (b) permet d’écrire l’équation régissant la décharge du condensateur. \({u_{AB}} - {u_L} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{q}{C} - \)\(( - L\frac{{di(t)}}{{dt}}) = 0\) \[\frac{{{d^2}q(t)}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{{LC}}q = 0\] C’est l’équation d’un oscillateur harmonique non amorti de pulsation \(\omega _0^2 = \frac{1}{{CL}}\) de période propre \({T_0} = 2\pi \sqrt {CL} \) et de solution \(q(t) = {q_{max}}sin({\omega _0}t + \varphi )\).
II.2 Oscillations libres avec amortissement
La résistance interne de la bobine n’est plus nulle; i.e. qu’elle est caractérisée à présent par sa résistance interne r et par son coefficient d’auto induction L \({u_L} = ri + L\frac{{di}}{{dt}}\)
Le circuit de décharge contient en plus un résistor de résistance variable.
Lorsque le circuit est fermé en ( 1) l’ équation de charge ne change pas.
Lorsque l’interrupteur est fermé en ( 2 ), le condensateur se décharge et l’équation de décharge est la suivante:
D’après la loi d’additivité des tensions : \({u_{AB}} + {u_L} + {u_R} = 0\)\( \Rightarrow \) \(\frac{q}{C} + ri\)\( + L\frac{{di}}{{dt}}\)\( + Ri = 0\) soit \(\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \)\(\frac{{R + r}}{L}\frac{{dq}}{{dt}} + \)\(\frac{1}{{CL}}q = 0\): C’est l’équation d’un oscillateur électrique amorti. le terme \(\frac{{R + r}}{L}\frac{{dq}}{{dt}}\) traduit cet amortissement. Le graphe traduisant les oscillations est de la forme: 
Dans un circuit RLC , l’amortissement est dû aux pertes d’énergie par effet joule dans les résistors.
Pour entretenir le système, il faut y incorporer un générateur qui va restituer régulièrement l’énergie consommée dans les résistors. On parle alors d’oscillateurs électriques forcées.
III.1 Les circuits RLC
III.1.1 Étude théorique d’un circuit RLC
Soit un générateur monté en série avec une bobine de résistance interne r et d’inductance L, un condensateur de capacité C et un résistor de résistance R
Pendant le fonctionnement du circuit, la tension aux bornes du générateur est donnée, d’après la loi d’additivité des tensions, par:\(u(t) = (R + r)i + \) \(L\frac{{di}}{{dt}} + \frac{q}{C}\)
Les tensions efficaces aux bornes des différents éléments du circuit sont:
- Aux bornes du générateur: U;
- Aux bornes du résistor : \((R + r)I = RI\);
- Aux bornes de l’inductance : \(LI\omega \)
- Aux bornes du condensateur :\(\frac{I}{{C\omega }}\)
— Aux bornes de la bobine
Si nous supposons l’intensité du courant i(t), alors \(i(t) = {I_{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\) et on aura : \({u_L} = {U_{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\) \( = ri + L\frac{{di}}{{dt}}\) \( = r{I_{\max }}\sin (\omega t) + \) \(L\omega {I_{\max }}\cos (\omega t)\) \( = r{I_{\max }}\sin (\omega t) + \) \(L\omega {I_{\max }}\sin (\omega t + \frac{\pi }{2})\) En divisant la relation précédente par \(\sqrt 2 \) on a: \(U\sin (\omega t + \varphi ) = \) \(rI\sin (\omega ..t) + \) \(L\omega .I\sin (\omega t + \frac{\pi }{2})\)
On détermine U et φ en utilisant la construction de Fresnel. Les vecteurs de Fresnel \(\overrightarrow {rI} \) et \(\overrightarrow {L\omega I} \) sont orthogonaux car la différence de phase est égale à .
\(\frac{\pi }{2}\). La construction ci-contre résume bien la situation:
Le sens positif de rotation est celui contraire au sens de rotation des aiguilles d’une montre.
D’après Pythagore, \({U^2} = {r^2}{I^2}\) \( + {L^2}{\omega ^2}{I^2}\) alors \(U = I\sqrt {{r^2} + {L^2}{\omega ^2}} \) \( = IZ\) \[Z = \sqrt {{r^2} + {L^2}{\omega ^2}} \] avec \(\tan (\varphi ) = \frac{{L\omega I}}{{rI}} = \frac{{L\omega }}{r}\) et \(\cos (\varphi ) = \frac{r}{{\sqrt {{r^2} + {L^2}{\omega ^2}} }}\)
On retrouve les mêmes résultats en imposant aux bornes de la bobine une tension . \(u(t) = {U_{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\)
Si la bobine a une résistance interne nulle, r=0Ω
- Aux bornes du condensateur et du résistor
Supposons: \(u(t) = {U_{\max }}\sin (\omega t)\) alors \(i(t) = \frac{{dq}}{{dt}} = \) \(C\frac{{du(t)}}{{dt}} = \) \(C{U_{\max }}\omega \sin (\omega t + \frac{\pi }{2})\). L’intensité du courant qui traverse le condensateur est en quadrature de phase avec la tension à ses bornes. \(I = CU\omega \) ,En effet: \(u(t) = Ri + \frac{q}{C}\) \( = Ri + \frac{1}{C}\int {idt{\rm{ }}} \). Ainsi: \({U_{\max }}\sin (\omega t + \varphi ) = \) \(R{I_{\max }}\sin (\omega t) - \) \(\frac{{{I_{\max }}}}{{C\omega }}\cos (\omega t)\), alors \({U^2} = {R^2}{I^2}\) \( + {\left( {\frac{I}{{C\omega }}} \right)^2}\) \( = {I^2}{Z^2}\) \[Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{1}{{C\omega }}} \right)}^2}} \] avec \(\tan (\alpha ) = \frac{1}{{RC\omega }}\) et \(\cos (\alpha ) = \frac{R}{Z}\)
De manière générale, nous pouvons faire la construction de Fresnel d’un circuit RLC, avec R=R+r. \(u(t) = \) \({U_{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\) \( = Ri + \) \(L\frac{{di}}{{dt}} + \) \(\frac{1}{C}\int {idt} \) \( \Rightarrow \) \(u(t) = \) \(R{I_{\max }}\sin (\omega t + \varphi )\) \( + L\omega {{\mathop{\rm I}\nolimits} _{max}}\sin (\omega t + \varphi )\) \( + \frac{1}{{C\omega }}{{\mathop{\rm I}\nolimits} _{max}}\sin (\omega t - \frac{\pi }{2})\)
Plusieurs cas sont à évaluer ici:
Si \(LI\omega \succ \frac{I}{{C\omega }}\),Le circuit est dit inductif alors : \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega - \frac{1}{{C\omega }}} \right)}^2}} \) et \(\tan (\varphi ) = \frac{{L\omega - \frac{1}{{C\omega }}}}{R}\)
Si \(LI\omega \prec \frac{I}{{C\omega }}\), Le circuit est dit capacitif alors \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega - \frac{1}{{C\omega }}} \right)}^2}} \) et \(\tan (\varphi ) = \frac{{\frac{1}{{C\omega }} - L\omega }}{R}\)
Si \(LI\omega = \frac{I}{{C\omega }}\),On parle de résonance alors \(Z = R\), \(\tan (\varphi ) = 0{\rm{ }}\), soit \({\rm{ }}\varphi = 0\). Ainsi, \(LC{\omega ^2} = 1\) \( \Rightarrow T = 2\pi \sqrt {LC} \). L’intensité du courant est maximale et le circuit est en résonance.
III.1.2 Courbe de résonance
La résonance est un phénomène qui se traduit par des oscillations de grande amplitude d’un système oscillant soumis à une excitation appropriée. Dans un circuit RLC, si on maintient la tension efficace constante et on fait varier la fréquence du générateur; l’intensité efficace varie. La courbe I=f(N) est appelée courbe de résonance.
Nous obtenons les graphes ci-contre pour certaines valeurs de la résistance du résistor.
La fréquence de résonance est donnée par la formule de Thomson \[{N_r} = {N_0} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\]
L’intensité de résonance est donnée par: \({I_r} = \frac{U}{{{Z_r}}} = \frac{U}{R}\) car \(L\omega = \frac{1}{{C\omega }}\)
À la résonance, la tension est en phase avec le courant.
III.1.3 Notion de bande passante
C’est l’intervalle de fréquence pour lequel l’intensité efficace est supérieur à \({I_0}/\sqrt 2 \) où I0 est l’intensité maximale ou intensité de résonance.
On montre que: \(\Delta N = \frac{R}{{2\pi L}}\). En effet, \(U = {I_0}R\) avec \({\rm{ }}U = ZI\) , \(I = \frac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow \frac{Z}{R} = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow {Z^2} = 2{R^2}\). Nous avons alors \({R^2} + {\left( {L\omega - \frac{1}{{C\omega }}} \right)^2}\)\( = 2{R^2}\), \({\left( {L2\pi N - \frac{1}{{C2\pi N}}} \right)^2}\) \( = {R^2}\)\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}L2\pi N - \frac{1}{{C2\pi N}} = R\\L2\pi N - \frac{1}{{C2\pi N}} = - R\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{N_2} = \frac{{R + \sqrt {{R^2} + \frac{{4L}}{C}} }}{{4\pi L}}\\{N_1} = \frac{{ - R + \sqrt {{R^2} + \frac{{4L}}{C}} }}{{4\pi L}}\end{array} \right.\) qui sont les solutions positives des différentes équations. N2 > N1 alors: \(\Delta N = \frac{R}{{2\pi L}}\)
