Objectifs:
- Définir une onde et la caractériser
- Décrire et interpréter le phénomène d’interférences mécaniques
II Étude des ondes mécaniques
Considérons une corde OA tendue à l’aide d’une masse suspendue à l’une de ses extrémités (A) passant par la gorge d’une poulie de masse négligeable.
L’autre extrémité (O) est fixée à une lame vibrante ( vibreur ) dont les vibrations sont entretenues par un électro-aimant.
Le mouvement transversal appliqué à la source O a pour équation : \[{y_0}(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t + \varphi )\]
Un point M situé à la distance OM=x reproduit le mouvement de la source O avec un retard \(\theta = \frac{x}{v}\) où v est la vitesse de propagation de la perturbation le long de la courbe. L’élongation au point M est dont: \({y_0}(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}(t - \frac{x }{v})\) \( + \varphi )\) \( = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \) \(\frac{{2\pi }}{{T.v}}x + \varphi )\)
La quantité \(\lambda = vT\) est caractéristique de l’onde et est appelée longueur d’onde . Elle représente la distance parcourue par l’onde ( front d'onde ) pendant une période. \[\lambda = vT = \frac{v}{N}\] T en secondes (s), \(\lambda \) en mètres (m),\(v\) en mètres/ secondes (m/s) et N en Hertz (Hz)
Le point M présente alors une double périodicité: une périodicité temporelle T et une périodicité spatiale λ.
On montre que pour une corde tendue, l’ébranlement créé au point O se propage à la vitesse suivante: \[v = \sqrt {\frac{F}{\mu }} \]
F est la tension de la corde et égale au poids de la masse marquée
\(\mu \) la masse linéique i.e. la masse par unité de longueur de la corde.
Deux points M1 et M2 d’abscisses respectives OM1 =x1 et OM2 =x2 ont pour élongations: \({y_1}(t,{x_1}) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t\)\( - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_1} + \varphi )\) et \({y_2}(t,{x_2}) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t\) \( - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_2} + \varphi )\)
L’expression notée : \(\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right|\) est le déphasage entre M1 et M2
* M1 et M2 vibrent en phase si et seulement si : \(\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right|\) \( = 2k\pi \). En effet : \(\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right|\) \( = \) \(\left| {\left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_2} + \varphi } \right) - \left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_1} + \varphi } \right)} \right|\) \( = \left| {\frac{{2\pi }}{\lambda }{x_1} - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_2}} \right|\) \( = 2k\pi \) \[\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = k\lambda \]
* M1 et M2 vibrent en opposition de phase si et seulement si : \(\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right|\) \( = (2k + 1)\pi \) \[\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\]
* M1 et M2 vibrent en quadrature de phase si et seulement si : \(\Delta \psi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = (2k + 1)\frac{\pi }{2}\) \[\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = (2k + 1)\frac{\lambda }{4}\]
III Superposition des ondes progressives de faible amplitude
Soit un vibreur muni de deux pointes qui affleurent la surface de l’eau en deux points S1 et S2: ces points constituent des sources secondaires synchrones ( même période ) et cohérentes ( la différence de phase est constante)
En éclairage normal, on observe à la surface de l’eau dans la zone située entre les deux sources secondaires S1 et S2 des lignes de crêtes en formes d’arc d’hyperboles.
En dehors de cette zone, on observe des rides circulaires qui s’agrandissent en s’éloignant de S1 et S2.
Le champ d’interférence est la zone située entre S1 et S2 où il y a superposition des rides circulaires.
En éclairage stroboscopique, on observe que les franges d’interférences sont de deux types:
* Des franges au repos; ( ensemble des points ayant une amplitude nulle )
Des franges d’interférences ou d’agitation maximale (ensemble des points vibrant avec une amplitude plus grande que celle des sources
III.1 Équation d’un point du champ d’interférence
Nous avons dit précédemment que les deux sources avaient même élongation i.e. \({y_0}(t) = {y_{s1}}(t) = {y_{s2}}(t)\) avec \({y_0}(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t + \varphi )\)
Supposons que l’onde se propage dans l’eau à la vitesse v, l’élongation d’un point M situé à la distance x de S est: \(y(t,d) = a\sin \frac{{2\pi }}{T}(t\)\( - \frac{x}{v})\) \( = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \) \(\frac{{2\pi }}{T}.\frac{x}{v})\)
On définit ici une périodicité dite spéciale appelée longueur d’onde
La longueur d’onde notée λ est la distance parcourue par l’onde pendant une période (T) d’oscillation \(\lambda = v.T\)
Son unité est le mètre (m)
Ainsi : \[y(t,x) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }x)\]
Au point M situé à:
- d1 de la source S1, on a : \({y_1}(t,{d_1}) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t\) \( - \frac{{2\pi }}{\lambda }{d_1} + \varphi )\)
- d2 de la source S2, on a: : \({y_2}(t,{d_2}) = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t\) \( - \frac{{2\pi }}{\lambda }{d_2} + \varphi )\)
La résultante (somme) de ces deux équations au point M est donnée par : \({y_M}(t) = y(t,{d_1}) + \) \(y(t,{d_2})\) \( = a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }{d_1}\) \( + \varphi )\) \( + a\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \) \(\frac{{2\pi }}{\lambda }{d_2} + \varphi )\)
Sachant que : \(\sin (p) + \sin (q) = \) \(2\cos (\frac{{p - q}}{2})\sin (\frac{{p + q}}{2})\)
Nous avons : \({y_M}(t) = 2a\cos \frac{\pi }{\lambda }({d_2} - {d_1})\) \(\sin (\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{\pi }{\lambda }({d_2}\) \( + {d_1}) + \varphi )\)
Qui peut encore s’écrire : \({y_M}(t) = Ysin(\frac{{2\pi }}{T}t + \phi )\) \(\left\{ \begin{array}{l}Y = 2a\cos \frac{\pi }{\lambda }({d_2} - {d_1})\\\phi = - \frac{\pi }{\lambda }({d_2} + {d_1}) + \varphi \end{array} \right.\)
La grandeur \(\delta = \left| {{d_2} - {d_1}} \right|\) est appelée différence de marche des ondes au point M.
Si δ=0 i.e. d1 = d2 le point est situé sur la médiatrice de [S1S2]
Le point appartient à la frange d’agitation maximale si et seulement si : \(Y = 2a\cos \frac{\pi }{\lambda }({d_2} - {d_1})\) \( = \pm 2a\) i.e \(\frac{\pi }{\lambda }({d_2} - {d_1}) = k\pi \). \[{d_2} - {d_1} = k\lambda \] avec \(k \in Z\)
Les points qui appartiennent à la frange au repos ont une amplitude nulle. Soit : \(Y = 2a\cos \frac{\pi }{\lambda }({d_2}\) \( - {d_1}) = 0\) ainsi \(\frac{\pi }{\lambda }({d_2} - {d_1}) = \) \((2\pi + 1)\frac{\pi }{2}\) \[{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\]
On appelle ordre d’interférence le réel p tel que : \[p = \frac{{\left| {{d_2} - {d_1}} \right|}}{\lambda } = \frac{\delta }{\lambda }\]
Si p est entier, ( p=k) les deux ondes ajoutent leurs effets au point M, on parle d’interférence constructive.
Si p est demie entier : \[p = k + \frac{1}{2}\]
Les ondes arrivent en opposition de phase au point M, leurs effets se détruisent et M est sur une ligne d’amplitude nulle: l’interférence est dit destructive, le point M ne vibre pas.
Le choix de k est limité, en effet :
Pour les points d’amplitude maximale, \( - {S_1}{S_2} \prec k\lambda \prec {S_1}{S_2}\) soit \[ - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \prec k \prec \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda }\]
Pour les points d’amplitude nulle. \( - {S_1}{S_2} \prec (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\) \( \prec {S_1}{S_2}\) ainsi \[ - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2} \prec k \prec \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2}\]
L’interférométrie est l’ensemble des techniques de mesures utilisant le phénomène d’interférence.
III.2 Les ondes stationnaires
On appelle onde stationnaire le phénomène vibratoire résultant de la superposition de deux ondes progressives de même pulsation ω et se propageant en sens contraire.
Ce phénomène trouve ses applications en vibration mécanique, dans les antennes TSF ( téléphone sans fil )
