Exercice I
1. Un ressort attaché à un point fixe soutient une masse m sous le poids de laquelle il s’allonge de 10 cm.
1.1 Calculer la période des oscillations du système. g=10 m/s2; m=0,2kg.
1.2 Si l’énergie totale d’un système oscillant vaut 1,6 10-2 J, quelle est son amplitude maximale des oscillations?
1.3 Quelle est sa vitesse au passage de la position d’équilibre?
1.4 Calculer l’intensité de la force de rappel et de l’énergie cinétique à t=0,25s.
2. Une masse ponctuelle est soumisse à une force de rappel de deux ressorts de raideurs k1 et k2.
2.1 Calculer la raideur d’un ressort unique équivalant aux deux ressorts dans les trois cas de figures ci-dessous.
2.2 Appliquer dans chaque cas le théorème du centre d’inertie et déterminer l’équation différentielle du mouvement de la masse m.
Exercice III
Un oscillateur est matérialisé par un mobile autoporteur, une masse m =50g ponctuelle et un ressort de masse négligeable. On négligera toutes forces de frottements.
Sur l’axe Ox, l’allongement du ressort est nul à l’origine x = 0 (position d’équilibre). On tire le mobile vers la droite d’une longueur OA=2,5 cm, puis on le lâche sans vitesse initiale.
À l’aide d’un dispositif approprié, on enregistre l’élongation x (en m) représentée sur la figure 1, et la vitesse v (en cm.s-1) représentée sur la figure 2.
1. Quelle est la nature du régime d’oscillation ? Justifier.
2. À l’aide du graphe de la figure 1, déterminer la valeur de la période propre T de l’oscillateur.
3.1 Après avoir fait le bilan des forces, montrer que l’équation différentielle caractéristique du mouvement de
G est : \[\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\] avec k la constante de raideur du ressort.
3.2 En déduire la valeur de la constante de raideur.
4.1 À l’aide des figures 1 et 2, Trouver les valeurs de xm et de ϕ.
4.2 Donner l’expression de x(t) puis de v(t) à tout instant t.
5.Compléter le tableau et conclure sur la valeur de l'énergie mécanique.
| t(s) | 0 | 0,5 | 1 | T |
| x(m) | ||||
| EPe(J) | ||||
| v(m/s) | ||||
| EC(J) | ||||
| Em(J) |
Exercice IV
Un pendule simple de longueur L est constitué d'un mobile autoporteur de masse m fixé à un fil inextensible. Il se déplace sur une table inclinée d'un angle \(\alpha \) par rapport au plan horizontal. Les frottements 
sont négligés.
On prendra l'énergie potentielle de pesanteur nulle pour la position d'équilibre du pendule (position A).
1. Décrire la trajectoire suivie par le centre d'inertie du pendule pendant son oscillation.
2. On écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle θ. Exprimer son énergie potentielle de pesanteur en B.
3. On abandonne le pendule sans vitesse initiale.
Exprimer sa vitesse lors de son passage par la position d'équilibre en A.
4. Exprimer l'énergie mécanique du pendule en fonction de θ, écart angulaire à l'instant t (par rapport à OA) et sa dérivée par rapport au temps dans le cas de petites oscillations. (sin(θ) voisin de θ en radian).
5. Établir à partir de l'énergie mécanique l'équation différentielle du mouvement du centre de gravité G et en déduire l'expression de la période T.
6. Calculer \(\sin (\alpha )\) pour que cette période soit celle d'un pendule simple, de même longueur L, oscillant sur la lune dans un plan vertical.\[\frac{{{g_{Terre}}}}{{{g_{Lune}}}} = 6\]
Exercice V
Sur un plan incliné, un solide de masse m est fixé à l’extrémité d’un ressort, lui-même fixé par son autre extrémité à un mur fixe. Le plan incliné est équipé d’un banc à coussins d’air, de sorte que les frottements 
peuvent être négligés. Le ressort est à spires non jointives, sa longueur à vide est x0 et sa constante de raideur k.
On considèrera que le ressort est sans masse. On repère la position du solide par la projection de son centre de gravité sur l’axe (Ox), parallèle au plan incliné.
1. Montrer que la longueur du ressort à l’équilibre est donnée par : \[{x_e} = \frac{{mg\sin (\alpha )}}{k} + {x_0}\]
2. On le lâche sans vitesse initiale à l’instant t = 0s.
2.1 Donner l’équation différentielle qui régit ses oscillations.
2.2 Est-ce un oscillateur harmonique?
3 Donner l’expression de l’énergie mécanique du solide.
4. Montrer que l’énergie du solide se conserve quelque soit sa position sur le plan incliné.
Exercice VI
Sur un disque horizontal de centre O, de masse M=0,2kg et de rayon R=20cm, peuvent glisser, le long d’un diamètre AB, deux masses , supposées ponctuelles, identiques 
m=m’=100g. Ces masses se trouvent l’une sur OA et l’autre sur OB et sont équidistants du point O avec OQ=OK=d (schéma). Le disque est suspendu par son centre à un fil vertical de longueur 1,20m.
On fait tourner le disque autour de son axe et on l’abandonne à lui même. Il effectue des oscillations de torsion de période T.
1. Calculer le moment d’inertie de l’ensemble sachant que le moment du disque est: \[{J_O} = \frac{{M{R^2}}}{2}\]
2. On fait varier la distance d. Tracer la courbe \({T^2} = f({d^2})\) . En déduire quelle serait la période T0 du pendule si on enlevait les masses m et m’. La constance de torsion du fil est \(C = {10^{ - 2}}N.m.ra{d^{ - 1}}\) et \({\pi ^2} = 10\)
3. Les masses m et m’ se trouvant à une distance d=R/2 du centre O on fait tourner le disque de 1 radian à partir de sa position de repos et on l’abandonne à lui-même à l’instant t=0s. on demande:
3.1 L’équation du mouvement du pendule;
3.2 L’expression de la vitesse instantanée.
Exercice VII
Un point matériel S de masse m est posé sur un plateau horizontal de masse m’, lui-même attaché à un ressort vertical de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. 
On suppose que l’ensemble est astreint à se déplacer uniquement suivant la verticale. À l’instant t = 0s, l’ensemble étant à l’équilibre, on appuie sur le plateau qui se déplace vers le bas d’une distance d, et on le lâche sans vitesse initiale. On repère la position de la masse et du plateau par la cote z(t) mesurée sur un axe vertical ascendant (Oz) ayant pour origine la position à l’équilibre.
1. Exprimer l’allongement algébrique ∆zeq du ressort lorsque l’ensemble est à l’équilibre.
2. En supposant le contact entre la masse et la plateau maintenu, établir l’équation différentielle vérifiée par z.
En déduire la loi horaire z(t).
3. Exprimer alors la réaction exercée par le plateau sur la masse m.
4. En déduire à quelle condition sur d la masse ne décollera pas du plateau au cours du mouvement.
Exercice VIII
Un disque homogène de masse M =100 g et de rayon R=10cm soutenu de part et d’autre par deux fils de torsion de mêmes caractéristiques. Ces deux fils sont fixés au disque à son centre O et les deux autres bouts, à deux points fixes Q et P. les fils sont horizontaux et perpendiculaires au plan du disque.
1. On écarte légèrement le disque de sa position d’équilibre d’un petit angle θm, puis on le lâche sans vitesse initiale. La constance de torsion de chaque fil est \(C = {10^{ - 2}}N.m.ra{d^{ - 1}}\)
Déterminer l’équation différentielle du mouvement et en déduire sa nature. Le moment d’inertie d’un disque homogène par rapport à un axe qui lui est perpendiculaire et passant par son centre d’inertie O est:
2. On fixe sur la circonférence du disque, en un point A situé au dessous de O une masse ponctuelle m=M/2.
On écarte de nouveau le système d’un angle θm, puis on l’abandonne sans vitesse initiale.
2.1 Établir l’équation différentielle du mouvement en utilisant la conservation de l’énergie mécanique. L’énergie potentielle de torsion est nulle à la position d’équilibre.
2.2 Donner l’expression de la période des oscillations du disque.
