Exercice II
1. Expérience 1
E=20V et I=0,8A. La tension étant continue, l’intensité de courant ne varie pas avec le temps. \(E = \underbrace {L\frac{{dI}}{{dt}}}_0\) \( + RI\) \( \Rightarrow \) \(R = \frac{E}{I}\) \( = \frac{{20}}{{0,8}} = 25\Omega \)
Expérience 2
\({U_{eff}} = \frac{{{U_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}\) \( = \frac{{14,11}}{{\sqrt 2 }} = 10{\rm{V}}\) avec \({I_{eff}} = 0,374\) A et \(\omega = 628\) rad/s, on a :\({U_{eff}} = Z{I_{eff}}\) \( = {I_{eff}}\sqrt {{R^2} + {{(L\omega )}^2}} \) soit: \[L = \frac{1}{\omega }\sqrt {\frac{{U_{eff}^2}}{{I_{eff}^2}} - {R^2}} \] \(L = 1,51 \times {10^{ - 2}}{\rm{H}}\)
2.1 Calcule du facteur de puissance: \(\left\{ \begin{array}{l}L = 1,51 \times {10^{ - 2}}{\rm{H}}\\\omega = 314{\rm{ rad/s}}\\R = 25{\rm{ }}\Omega \end{array} \right.\) et \(Z = \sqrt {{R^2} + {{(L\omega )}^2}} \) \( = 25,45\Omega \) soit: \[\cos (\alpha ) = \frac{R}{Z}\]\(cos(\alpha ) = \frac{{25}}{{25,45}} = 0,98\)
Calcule de la puissance moyenne \[{P_m} = \frac{{{U^2}}}{Z}\cos (\alpha )\]
2.2 Calcule de la capacité du condensateur.
\({X_L} = L\omega {\rm{ }}\) et \({X_C} = \frac{1}{{C\omega }}\)
Les deux composants étant en parallèle, l’impédance équivalente est: \(\frac{1}{Z} = \frac{1}{{{X_L}}}\) \( + \frac{1}{{{X_C}}} = \) \(\frac{1}{{L\omega }} + C\omega \) alors\(Z = \frac{{L\omega }}{{1 + LC{\omega ^2}}}\) et \({P_m} = \frac{{{U^2}}}{Z}\cos (\alpha )\) ainsi: \[C = \frac{1}{{L{\omega ^2}}}\left( {1 - \frac{{{P_m}L\omega }}{{U_{eff}^2\cos \left( \varphi \right)}}} \right)\]
Exercice III
1. La différence de potentiel instantanée est de la forme:
\(u(t) = \) \({U_m}\sin (2\pi N.t)\) avec \({U_m} = U\sqrt 2 \), on a : \[u(t) = 110\sqrt 2 \sin (100\pi .t)\]
2.1 Calcule de l’intensité efficace qui parcoure la bobine: \[I = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega } \right)}^2}} }}\] I=1,05 A
2.2 Calcule de la puissance moyenne absorbée par la bobine. Elle est celle consommée par effet joule dans le circuit. \(p = UI\cos (\varphi )\) \( = ZI.I.\frac{R}{Z}\) alors \[p = R{I^2}\] \(p = 110{\rm{W}}\)
3.1 Calcule de l’intensité efficace du circuit.Le circuit comporte en série une bobine, un condensateur et une résistance. La tension entre A et B reste constante.
\[I = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega - \frac{1}{{C\omega }}} \right)}^2}} }}\] I=0,7 A
3.2 Calcule de la différence de potentielle entre AM. \[{U_{AM}} = I\sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega } \right)}^2}} \] \({U_{AM}} = 71,6{\rm{V}}\)
Calcule de la différence de potentielle entre MB. \[{U_{MB}} = \frac{I}{{C\omega }}\] \({U_{MB}} = 108{\rm{V}}\)
3.3 Calcule de la nouvelle puissance du circuit \[p = R{I^2}\] \(p = 46,5{\rm{W}}\)
4. L’intensité dans le circuit est de la forme \[I = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {L\omega - \frac{1}{{C\omega }}} \right)}^2}} }}\]
Elle est maximale si et seulement si l’impédance est minimale ie Z=R, alors \(L\omega - \frac{1}{{C\omega }} = 0\) soit \[C = \frac{1}{{L{\omega ^2}}}\] \(C = 100\mu F\)
L’interposition de la capacité annule l’effet de l’inductance de la bobine. On dit qu’il y a résonance électrique.
Exercice IV
1. Schématisation
Masse au point M, Voie 1 au point D et Voie 2 au point A
2. Régimes et qualifications
La tension augmente de t=0ms à t=4 ms: c’est le régime transitoire.
De t=4 ms à l’infini, elle reste constante: c’est le régime permanent
3. Durant le régime transitoire, le condensateur se charge.
4.1 Détermination de la constante de temps
Nous avons utilisé ici deux méthodes pour déterminer la constante de temps τ
Méthode 1: L’ordonnée de \(\tau \) est donnée par la formule: \({u_C}(\tau ) = 0,63 \times E\) \( = 2,52V\)
À partir de cette valeur, on peut déterminer son abscisse qui est bien la valeur de la constance de temps. \(\tau \)=1 ms
Méthode 2:
On trace la tangente à la courbe de charge au point d’abscisse t=0ms, elle coupe l’asymptote horizontale en un point dont l’abscisse donne la valeur de \(\tau \). \(\tau \)=1 ms.
4.2 Expression littérale de la constante de temps: \[\tau = RC\]
Calcule de la valeur de la résistance: \(\tau = RC\) \( \Rightarrow R = \frac{\tau }{C}\) \(R = 1{\rm{K\Omega }}\)
4.3 Relation liant E, uR et uC\[E = {u_R} + {u_C}\]
Expression de l’intensité du courant: \(E = Ri + {u_C}\) \[i(t) = \frac{{E - {u_C}}}{R}\]
Intensité du courant
À t=0 ms, uC=0 V, \(i({t_1}) = \frac{E}{R} = 4\) mA
À t=5 ms, uC=4 V, \(i({t_1}) = \frac{{E - {u_C}}}{R} = 0\) V
4.4 Allure de la courbe de l’intensité en fonction du temps
Exercice V
1. L’interrupteur étant en position 1, le condensateur se charge. La constante de temps (\(\tau = RC\)) est très faible, il n’y a pas de résistance dans le circuit de charge
La charge du condensateur est instantanée.
2. La décharge du condensateur dans la bobine permet de mettre en évidence des oscillations électriques libres et amorties.
3.1 Energie électrique accumulée dans le condensateur: \[{E_e}(t) = \frac{1}{2}C.{\left( {{u_C}(t)} \right)^2}\]
Energie électrique accumulée dans la bobine: \[{E_m}(t) = \frac{1}{2}L.{\left( {i(t)} \right)^2}\]
3.2 Intensité du courant en fonction de la tension aux bornes du condensateur: \[i(t) = C\frac{{d{u_C}}}{{dt}}\]
4.1 Courbes traduisant les énergies accumulées dans le condensateur et la bobine
À l’instant initial, le condensateur est chargé, sa tension est égale à celle du générateur. Ee(0)=2,5 μJ et la tension aux bornes de la bobine nulle Em(0)=0μJ
4.2 Graphiquement, nous avons:
À t= 0,5 ms, Ee(0,5)=0μJ et Em(0,5)=2,25μJ
À t= 2 ms, Ee(2)=1,65μJ et Em(2)=0 μJ
Pour le condensateur: \(\Delta {E_e} = 1,65 - 0 = \) \(1,65\mu J\)
Pour la bobine : \(\Delta {E_e} = 0 - 2,25\) \( = - 2,25\mu J\)
La bobine cède plus d’énergie que n’en reçoit le condensateur.
4.3 L’énergie totale du circuit est: ET(t) = Ee(t) + Em(t)
À t1: ET(t1) = Ee(t1) + Em(t1), ET(0,5)= 0+ 2,25 = 2,25 µJ
À t2: ET(t2) = Ee(t2) + Em(t2), ET(2) = 1,65 + 0 = 1,65 µJ
Ainsi l’énergie totale du circuit diminue au cours du temps. Elle est due à la dissipation d’énergie sous forme de chaleur ( l’effet Joule) dans la résistance r de la bobine.
Exercice VI
1. Traçons I=f(N)
2.Calcule de R et L
À la résonance, l’intensité du courant est maximale N0 =215Hz et Z=R, ainsi: \(LC4{\pi ^2}N_0^2 = 1\) soit: \(L = \frac{1}{{4{\pi ^2}CN_0^2}}\) \( = 0,1{\rm{H}}\). U=93 mV et I0=9,3 mA, \(U = R{I_0}\) \( \Rightarrow \) \(R = \frac{U}{{{I_0}}} = 10\Omega \)
3. Calcule du rapport: \(A = \frac{{{N_0}}}{{{N_2} - {N_1}}}\) \( = \frac{{215}}{{223 - 207}}\) \(A = 13,44\)
4. Calcule du facteur de qualité: \(Q = \frac{{{N_0}}}{{\Delta N}}\) \( = \frac{{{N_0}}}{{\frac{R}{{2\pi L}}}}\) \( = \frac{{2\pi L{N_0}}}{R}\) \( = \frac{1}{{2\pi {N_0}RC}}\) \(Q = 13,5\)
