Exercice VII
1. Les lois de conservation à utiliser sont les lois de Soddy.
- La conservation du nombre de nucléons
- La conservation du nombre de charges.
\({}_7^{14}N + {}_0^1n\) \( \to {}_Z^AX + {}_6^{14}C\)
\(\left\{ \begin{array}{l}14 + 1 = A + 14\\7 + 0 = Z + 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\\Z = 1\end{array} \right.\)
La particule obtenue est un noyau d’hydrogène ( proton) \({}_1^1H\)
2. La radioactivité est la transformation d’un noyau en un autre avec émission d’un rayonnement électromagnétique.
Equation de désintégration de carbone 14
\({}_3^{14}C \to {}_{ - 1}^0e\) \( + {}_Z^AX\)
\(\left\{ \begin{array}{l}14 = A + 0 \Rightarrow A = 14\\6 = Z - 1 \Rightarrow Z = 7\end{array} \right.\)
donc X est l'élément azote N.
3. A(t) en fonction de N(t) et λ : \(A(t) = \lambda N(t)\), On a également montré que : \(A(t) = - \frac{{dN(t)}}{{dt}}\)
Soit l’équation différentielle suivante : \[\frac{{dN(t)}}{{dt}} + \lambda N(t) = 0\]
Vérifions que la solution de cette équation est : N(t)=N0 exp(-λt)
\(\frac{{dN(t)}}{{dt}} = \) \( - \lambda N(t) \Rightarrow \) \( - \lambda N(t) + \) \(\lambda N(t) = 0\)
4. La période radioactive ou demi-vie d’un nucléide est la durée T nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se désintègre.
Nous avons montré que , si t=nT alors : \(N(t) = \frac{{{N_0}}}{{{2^n}}}\)
Si nous multiplions cette relation par λ, nous avons : \(\lambda N(t) = \) \(\lambda \frac{{{N_0}}}{{{2^n}}} \Leftrightarrow \) \(A(t) = \frac{{{A_0}}}{{{2^n}}}\)
\(t = T\) \( \Rightarrow n = 1{\rm{ }}\) \(A(t) = \frac{{{A_0}}}{2}{\rm{ }}\)
\({\rm{ }}t = 2T \Rightarrow n = 2{\rm{ }}\) \(A(t) = \frac{{{A_0}}}{{{2^2}}}\)
\(t = 3T \Rightarrow n = 3{\rm{ }}\) \(A(t) = \frac{{{A_0}}}{{{2^3}}}...\)
5. La courbe représentant l'évolution de l'activité de l'échantillon en fonction du temps.
6. Calcule de λ
\(\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}\) \( = \frac{{\ln 2}}{{5570}} = {\rm{1}}{\rm{,24 1}}{{\rm{0}}^{ - 4}}a{n^{ - 1}}\) \( = \frac{{0,69}}{{5570.356.24.3600}}\) \( = 3,93{\rm{ }}{10^{ - 12}}{s^{ - 1}}\)
7. Calcule de l’âge des ossements
\(\frac{{N(t)}}{{{N_0}}} = {e^{ - \lambda t}}\) \( \Rightarrow \) \(t = - \frac{1}{\lambda }.\ln (\frac{{N(t)}}{{{N_0}}})\) \( = 3,31{\rm{ }}{10^4}{\rm{ans}}\)
8. Calcule de l’activité de l’ossement
Dans 200 g d'os d'un être vivant, il y a 1,0 g de carbone et on mesure 15 désintégrations par minute.
\({A_0} = \frac{{15}}{{60}} = 0,25Bq\) et \(\frac{A}{{{A_0}}} = 1,64 \times {10^{ - 2}}\) soit \(A = 1,64 \times {10^{ - 2}}.{A_0}\)
Nombre N0 de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon :
\({A_0} = \lambda {N_0}\) soit \({N_0} = \frac{{{A_0}}}{\lambda }\) \( = \frac{{4,1{\rm{ }}{{10}^{ - 3}}}}{{3,39{\rm{ }}{{10}^{ - 12}}}}\) \( = 1,0{\rm{ }}{10^9}{\rm{ }}\) noyaux de carbone 14
Calcule du nombre N0 de carbone 12 présents dans l'échantillon
\({N_0} = \frac{{{m_0}}}{M}.{N_A}\) \( = 5,01{\rm{ }}{10^{22}}\) noyaux
