Correction I La radioactivité

Exercice I

1.1 Écrivons l’équation de désintégration du cadmium. Elle est de la forme :
${}_{48}^{107}Cd \to$${}_{47}^{107}A{g^*} + {}_x^yX$
Appliquons à cette équation de désintégration les lois de Soddy (conservation du nombre de masse et du nombre de charge)
Ainsi: 107=107+y soit y=0
48=47+x soit x=48-47= 1
${}_{48}^{107}Cd \to$${}_{47}^{107}A{g^*} + {}_{ + 1}^0e$
L’argent étant sous sa forme excité, il doit se désexciter en émettant des rayonnements gamma suivant l’équation.
${}_{47}^{107}A{g^*} \to$${}_{47}^{107}Ag + \gamma$
2.1 il s’agit de la radioactivité beta plus ( ${\beta ^ + }$)
2.2 Le rayonnement γ est l’émission d’un ou plusieurs photons (ou d’un rayonnement électromagnétique) de haute énergie lors de la désexcitation d’un nucléide.
3.1 C.est une constance qui a la dimension de l’inverse du temps et qui caractérise un élément radioactif. Elle est toujours positive.
3.2 Calcule de la constance radioactive, par définition : $$\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}$$
$\lambda =$$\frac{{\ln 2}}{{6 \times 3600 + 42 \times 60}}$$= 2,9 \times {10^{ - 5}}{s^{ - 1}}$
4. Calcule du nombre de noyaux présents dans l’échantillon
${N_0} = n{N_A} =$$\frac{{{m_{Cd}}}}{{{M_{Cd}}}}{N_A}$ soit ${N_0} =$$\frac{{1 \times {{10}^{ - 3}}}}{{107}} \times 6,02 \times {10^{23}}$$= 5,626 \times {10^{18}}noyaux$
5.1 L’activité d’une échantillon est le nombre moyen de désintégrations que produit cet échantillon par unité de temps. Elle est donnée par :
$A(t) = - \frac{{dN(t)}}{{dt}}$ $= \lambda {N_0}{e^{ - \lambda .t}} =$ $\lambda .N(t)$
5.2 À l’instant initial, elle est donnée par: $$A(0) = \lambda .{N_0}$$
$A(0) = 2,9 \times {10^{ - 5}}$ $\times 5,7 \times {10^{18}}$ soit ${A_0} = 1,7 \times {10^{14}}Bq$
5.3 Calcule de la durée au bout de laquelle l’activité a diminué de 3/4.
$A(t) = \frac{3}{4}{A_0}$ et $A(t) = {A_0}\exp ( - \lambda t)$, ainsi : $\frac{3}{4} = \exp ( - \lambda t)$ $$t = - \frac{1}{\lambda }\ln (\frac{3}{4})$$ $t = - \frac{1}{{2,9 \times {{10}^{ - 5}}}}\ln (\frac{3}{4})$ $= 9920s$