Correction épreuve de mathématique Concours ISSEA 2014

Correction exercice 5

On considère la fonction numérique f à valeurs réelles définie par:
$f(x) =$ ${x^2} \times \ln ({x^2} + 1)$
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d'un repère orthogonal et ln désigne le logarithme népérien.
1. Etudions les variations de la fonction f et tracer C.
On peut remarquer que la fonction est paire et son étude se fera pour les réels positifs.
La dérivée de f est égale à : $f'(x) =$ $2x\ln ({x^2} + 1)$ $+ \frac{{2{x^3}}}{{1 + {x^2}}} \ge 0$
La fonction est donc strictement croissante sur ${R^ + }$, elle admet une branche parabolique dans la direction oy et est convexe.2. Calculons $I = \int\limits_0^1 {f(x)dx}$
On calcule cette intégrale par parties : $I =$ $\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^2})dx}$ $=$ $\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln (1 + {x^2})} \right]_0^1$ $- \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}}dx}$
Par ailleurs, $\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}} =$ ${x^2} - 1 +$ $\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
D’où $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^2}}}dx} =$ $\left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - x + \arctan (x)} \right]_0^1$ $= - \frac{2}{3} + \frac{\pi }{4}$
On obtient finalement : $I =$ $\int\limits_0^1 {{x^2}\ln (1 + {x^2})dx}$ $= \frac{{\ln 2}}{3} - \frac{4}{9}$ $- \frac{\pi }{6}$
3. On considère la fonction numérique f n à valeurs réelles définie par:
${f_n}(x) = {x^n}$ $\times \ln ({x^2} + 1)$
où n est un entier strictement supérieur à 2.
Etudions les variations de la fonction ${f_n}$ et tracer son graphe.
Si n est pair, la fonction est également paire, de même si n est impair, la fonction est impaire, d’où l’étude que sur les réels positifs.
La dérivée est égale à :
${f_n}(x) = n{x^{n - 1}} \times$ $\ln ({x^2} + 1) +$ $\frac{{2{x^{n + 1}}}}{{1 + {x^2}}} =$ ${x^{n - 1}} \times$ $\frac{{n(1 + {x^2})\ln (1 + {x^2}) + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$
La fonction est donc strictement croissante sur ${R^ + }$, elle admet une branche parabolique dans la direction Oy et est convexe. La symétrie étant différente selon la parité de n.
4. Calculons ${J_n} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^n}}}{{1 + {x^2}}}} dx$ en fonction de n
${J_0} =$ $\int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} dx =$ $\left[ {\arctan x} \right]_0^1$ $= \frac{\pi }{4}$
${J_1} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + {x^2}}}} dx$ $= \frac{1}{2}\left[ {\ln (1 + {x^2})} \right]_0^1$ $= \frac{{\ln 2}}{2}$
${J_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}}} dx$ $= \frac{1}{2}\left[ {x - \arctan x} \right]_0^1$ $= 1 - \frac{\pi }{4}$
On vérifie par récurrence les expressions suivantes :
$\frac{{{x^{2n}}}}{{1 + {x^2}}} =$ ${x^{2n - 2}} - {x^{2n - 4}}$ $+ ... + {( - 1)^{n + 1}}$ $+ {( - 1)^n}\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
$\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{1 + {x^2}}} =$ ${x^{2n - 1}} - {x^{2n - 3}}$ $+ ... +$ ${( - 1)^{n + 1}} +$ ${( - 1)^n}\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
${J_{2n}} =$ $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n}}}}{{1 + {x^2}}}} =$ $\frac{1}{{2n - 1}} -$ $\frac{1}{{2n - 3}} +$ $... + {( - 1)^{n + 1}}$ $+ {( - 1)^n}\frac{\pi }{4}$
${J_{2n + 1}} =$ $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{1 + {x^2}}}} =$ $\frac{1}{{2n}} -$ $\frac{1}{{2n - 2}} +$ $... + {( - 1)^{n + 1}}$ $+ {( - 1)^n}\frac{{\ln 2}}{2}$
5. Calculons ${I_n} =$ $\int\limits_0^1 {{f_n}(x)dx}$ en fonction de n.
En l’intégrant par parties :
${I_n} =$ $\int\limits_0^1 {{f_n}(x)dx} =$ $\left[ {\frac{{{x^{n + 1}}\ln (1 + {x^2})}}{{n + 1}}} \right]_0^1$ $- \frac{2}{{n + 1}}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{n + 2}}}}{{1 + {x^2}}}dx}$
${I_n} = \frac{{\ln 2}}{{n + 1}}$ $- \frac{2}{{n + 1}}{J_{n + 2}}$
Il suffit alors de remplacer la deuxième intégrale par sa valeur trouvée à la question précédente, pour obtenir :
${I_{2n}} = \frac{{\ln 2}}{{2n + 1}}$ $- \frac{2}{{2n + 1}}{J_{2n + 2}}$
${I_{2n - 1}} = \frac{{\ln 2}}{{2n}}$ $- \frac{1}{{2n}}{J_{2n + 1}}$