Correction deuxième épreuve de mathématique Concours ISSEA 2014

Correction exercice n° 5

Soit f l’application numérique définie par :
$f(x) =$ $\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$
1. Étudions les variations de f.
La dérivée de f est égale à : $f'(x) =$ $\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ . Cette dérivée s’annule en 0 et -2. La droite x=-1 est une asymptote verticale et la droite d’équation y=x est une asymptote oblique.
La fonction est strictement croissante de $] - \infty , - 2]$ sur $] - \infty , - 3]$
La fonction est strictement décroissante de $[ - 2, - 1[$ sur $] - 3, - \infty ]$
La fonction est strictement décroissante de $] - 1,0]$ sur $] + \infty ,1]$
La fonction est strictement croissante de $[0, + \infty [$ sur $[1, + \infty ]$
2. On considère la suite $({u_n})$ de nombres réels définie par : ${u_0} \succ 0$ et un ${u_{n + 1}} = f({u_n})$
Etudions la convergence de cette suite $({u_n})$. La suite est strictement positive ${u_{n + 1}} - {u_n} =$, $\frac{1}{{1 + {u_n}}} \succ 0$ la suite est donc croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers une limite l qui vérifierait : $l = f(l)$, ce qui est impossible, donc la suite est divergente.
3. Calculons $\int\limits_0^1 {f(x)} dx$
$\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ $= x + \frac{1}{{x + 1}}$ $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} dx$ $= \int\limits_0^1 {xdx} +$ $\int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx}$ $= \frac{1}{2} + \ln 2$
4. Calculons $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }$ $\int\limits_1^x {(f(t) - t)dt}$
On a $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {(f(t) + t)dt = }$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {\frac{1}{{t + 1}}} dt =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\ln (x + 1)) =$ $+ \infty$
5. Trouvons une fonction g continue telle que $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_1^x {(g(t) + t)dt}$ soit finie. Si cette limite est finie, il faut que ${(g(t) + t)}$ tende vers zéro et que l’intégrale soit convergente. Soit, par exemple, $g(t) = t + \frac{1}{t}$ et dans ce cas la limite recherchée est égale à 1.