Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2015

Exercice n° 4

On note P l’ensemble des nombres entiers pairs strictement positifs. Soit n un élément de P. On cherche à écrire n sous la forme d’une combinaison linéaire des $n - 1$ entiers qui le précèdent, c’est-à-dire 1, 2, 3, ...., $n - 2$,$n - 1$ tous les coefficients de cette combinaison n’étant que + 1 ou -1. Par exemple, on a $4 = (( - 1) \times 1)$ $+ (1 \times 2) +$ $(1 \times 3))$
En termes plus mathématiques, on cherche pour chaque $n \in P$ une décomposition de la forme :
(E) $n = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\varepsilon _k}k}$ où le symbole ${{\varepsilon _k}}$ est le coefficient +1 ou -1 à affecter à l’entier k.
1. La décomposition d’un entier pair $n \in P$ est-elle unique ?
2. Déterminer le sous-ensemble de P pour lequel existe une décomposition de type (E).