Attention !
L’exercice n° 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice n° 1 étant notée sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve de mathématiques.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 1
1. La fonction f étant définie sur l’ensemble des nombres réels par : f(x)=x2exf(x)=x2ex +ln(1+x2).
Calculer sa dérivée au point x=0.
2. Pour x et y nombres réels, résoudre le système :
{x2+y2=13xy=6
3. Calculer
I= 1∫−1(x4+x2+1) sin(x)dx
4. Déterminer le nombre de solutions de l’équation :
n∑k=0x2k+ 1∫0t2n1+t2dt=0
5. Calculer :
limx→0(sin(x2)√1−x2−√1−x3+2)
6. Calculer la limite, si elle existe, de la suite (un) définie par un=n(e1n−1), où n est un entier strictement positif.
7. Dans un repère orthonormé du plan, déterminer un vecteur unitaire orthogonal à la droite d’équation :
x−y+1=0
8. Déterminer :
limε→0+1∫εx3ln(x)dx
9. Résoudre l’équation :
x4−6x3 +11x2−6x=0
10. Les diverses parcelles d’une exploitation forestière donnent des bois de qualités différentes. On peut distinguer 3 types de parcelles selon le bois produit :
- Qualité supérieure : 80% des parcelles
- Qualité moyenne : 15% des parcelles
- Qualité inférieure : 5% des parcelles
Quelle est la probabilité de ramasser uniquement du bois de qualité supérieure en se rendant, de façon indépendante, dans 3 parcelles ?
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 2
Le paramètre t étant un nombre réel strictement positif, on pose yt(x)=e−xtxt où x est un nombre réel non nul.
1. Étudier les variations de la fonction yt et donner l’allure de son graphe.
2. Calculer
It=1∫0x2yt(x)dx
3. Calculer limt→∞It et limt→0t3It
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 3
On considère les fonctions f et g définies sur [1,+∞[ par :
f(x)= −x−√x2−1 et g(x)=−x +√x2−1
1. Etudier les variations de f et g sur [1,+∞[
2. Pour k entier naturel non nul, on pose :
Ik=[−k+√k2−1, +∞[ et Jk=[−∞, −k−√k2−1[
Montrer que ces deux suites (Ik) et (Jk) sont des suites monotones de segments emboîtés pour l’inclusion.
3. Pour k entier naturel non nul, on pose : fk(x)= √x2+2kx+1. Donner l’ensemble de définition de fk(x) en fonction de Ik et Jk, et en déduire l’ensemble de définition de la fonction φn définie par :
φn(x)= (n∑k=1√x2+2kx+1) −√n2x2+1
4. Calculer :
limx→+∞[fk(x)−√x2+1n2]
En déduire
limx→+∞φn(x)
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 4
Combien a-t-on de nombres entiers naturels à 3 chiffres, inférieurs à 10p, dont la somme des chiffres est égale à 3 ? (on pourra discuter selon les valeurs de l’entier naturel p).
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 5
On considère la fonction numérique f définie par:
f(x)= √x−1+2√x−2+ √x−1−2√x−2
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer (f(x))2 pour simplifier l’expression de f ( x) et tracer le graphe de f dans un repère orthonormé.
3. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels ( x, y) tels que y=f(x), avec x≤10
4. Soit g la restriction de f à l’intervalle [3,+∞[. Montrer que g est une bijection de [3,+∞[ sur un intervalle J que l’on déterminera. Montrer que la bijection réciproque g−1 de g est dérivable sur J.
5. Déterminer la fonction g−1 et tracer son graphe dans le même repère que celui de f.
Que peut-on dire ?
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 6
1. Étudier les variations et tracer le graphe de la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par :
f(x)=x2+2x+1
2. Calculer l’aire comprise entre l’axe Ox, le graphe de f et les droites d’équation x=1 et x=2.
3. Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie que l’on déterminera.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 7
Pour un entier n, n≻0, on pose :
In=2∫01n!(2−x)nexdx
où n ! désigne le produit des entiers de 1 à n.
1. Calculer I1 .
2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, on a :
0≤In≤2nn!(e2−1)
3. Trouver une relation de récurrence entre In+1 et In
4. Étudier la convergence de la suite In et calculer sa limite si elle existe.
