Attention !
L’exercice n° 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice n° 1 étant notée sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve de mathématiques.
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 1
1. La fonction f étant définie sur l’ensemble des nombres réels par : \(f(x) = {x^2}{e^x}\) \( + \ln (1 + {x^2})\).
Calculer sa dérivée au point x=0.
2. Pour x et y nombres réels, résoudre le système :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 13\\xy = 6\end{array} \right.\)
3. Calculer
\(I = \) \(\int\limits_{ - 1}^1 {({x^4} + {x^2} + 1)} \) \(\sin (x)dx\)
4. Déterminer le nombre de solutions de l’équation :
\(\sum\limits_{k = 0}^n {{x^{2k}}} + \) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{t^{2n}}}}{{1 + {t^2}}}dt} = 0\)
5. Calculer :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{\sin ({x^2})}}{{\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt {1 - {x^3}} }} + 2)\)
6. Calculer la limite, si elle existe, de la suite \(({u_n})\) définie par \({u_n} = n({e^{\frac{1}{n}}} - 1)\), où n est un entier strictement positif.
7. Dans un repère orthonormé du plan, déterminer un vecteur unitaire orthogonal à la droite d’équation :
\(x - y + 1 = 0\)
8. Déterminer :
\(\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \int\limits_\varepsilon ^1 {{x^3}\ln (x)dx} \)
9. Résoudre l’équation :
\({x^4} - 6{x^3}\) \( + 11{x^2} - 6x = 0\)
10. Les diverses parcelles d’une exploitation forestière donnent des bois de qualités différentes. On peut distinguer 3 types de parcelles selon le bois produit :
- Qualité supérieure : 80% des parcelles
- Qualité moyenne : 15% des parcelles
- Qualité inférieure : 5% des parcelles
Quelle est la probabilité de ramasser uniquement du bois de qualité supérieure en se rendant, de façon indépendante, dans 3 parcelles ?
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 2
Le paramètre t étant un nombre réel strictement positif, on pose \({y_t}(x) = \frac{{{e^{ - xt}}}}{{xt}}\) où x est un nombre réel non nul.
1. Étudier les variations de la fonction \({y_t}\) et donner l’allure de son graphe.
2. Calculer
\({I_t} = \int\limits_0^1 {{x^2}{y_t}(x)dx} \)
3. Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {I_t}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t^3}{I_t}\)
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 3
On considère les fonctions f et g définies sur \(\left[ {1, + \infty } \right[\) par :
\(f(x) = \) \( - x - \sqrt {{x^2} - 1} \) et \(g(x) = - x\) \( + \sqrt {{x^2} - 1} \)
1. Etudier les variations de f et g sur \(\left[ {1, + \infty } \right[\)
2. Pour k entier naturel non nul, on pose :
\({I_k} = [ - k + \sqrt {{k^2} - 1} ,\) \( + \infty [\) et \({J_k} = [ - \infty ,\) \( - k - \sqrt {{k^2} - 1} [\)
Montrer que ces deux suites \(\left( {{I_k}} \right)\) et \(\left( {{J_k}} \right)\) sont des suites monotones de segments emboîtés pour l’inclusion.
3. Pour k entier naturel non nul, on pose : \({f_k}(x) = \) \(\sqrt {{x^2} + 2kx + 1} \). Donner l’ensemble de définition de \({f_k}(x)\) en fonction de \({I_k}\) et \({J_k}\), et en déduire l’ensemble de définition de la fonction \({\varphi _n}\) définie par :
\({\varphi _n}(x) = \) \(\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{x^2} + 2kx + 1} } } \right)\) \( - \sqrt {{n^2}{x^2} + 1} \)
4. Calculer :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{f_k}(x) - \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right]\)
En déduire
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\varphi _n}(x)\)
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 4
Combien a-t-on de nombres entiers naturels à 3 chiffres, inférieurs à \({10^p}\), dont la somme des chiffres est égale à 3 ? (on pourra discuter selon les valeurs de l’entier naturel p).
Epreuve de mathématique Concours ISSEA 2016
Exercice n° 5
On considère la fonction numérique f définie par:
\(f(x) = \) \(\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} } + \) \(\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } \)
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer \({\left( {f(x)} \right)^2}\) pour simplifier l’expression de f ( x) et tracer le graphe de f dans un repère orthonormé.
3. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels ( x, y) tels que \(y = f(x)\), avec \(x \le 10\)
4. Soit g la restriction de f à l’intervalle \(\left[ {3, + \infty } \right[\). Montrer que g est une bijection de \(\left[ {3, + \infty } \right[\) sur un intervalle J que l’on déterminera. Montrer que la bijection réciproque \({g^{ - 1}}\) de g est dérivable sur J.
5. Déterminer la fonction \({g^{ - 1}}\) et tracer son graphe dans le même repère que celui de f.
Que peut-on dire ?
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Exercice n° 6
1. Étudier les variations et tracer le graphe de la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par :
\(f(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{x + 1}}\)
2. Calculer l’aire comprise entre l’axe Ox, le graphe de f et les droites d’équation x=1 et x=2.
3. Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie que l’on déterminera.
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Exercice n° 7
Pour un entier n, \(n \succ 0\), on pose :
\({I_n} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{n!}}{{(2 - x)}^n}{e^x}dx} \)
où n ! désigne le produit des entiers de 1 à n.
1. Calculer \({I_1}\) .
2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, on a :
\(0 \le {I_n} \le \frac{{{2^n}}}{{n!}}({e^2} - 1)\)
3. Trouver une relation de récurrence entre \({I_{n + 1}}\) et \({I_n}\)
4. Étudier la convergence de la suite \({I_n}\) et calculer sa limite si elle existe.
