Epreuve de mathématique Concours ISSEA ENSEA 2016

Exercice n° 3

On considère la fonction f définie sur R par :
$f(x) = \frac{1}{{1 + x}}$
et pour chaque entier naturel n ($n \succ 1$), la fonction f_n est définie sur R par :
${f_n}(x) = \frac{{{x^n}}}{{1 + x}}$
1. Étudier les variations de f n selon les valeurs de n. La courbe représentative de f n est désignée par ${C_n}$.
2. Tracer dans un repère orthonormé les courbes ${C_2}$ et ${C_3}$. On précisera la position relative de ces deux courbes.
3. Etant donné un nombre réel x, on note ${S_n}(x)$ la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison (-x) et de premier terme 1. Exprimer ${S_n}(x)$ en fonction de $f(x)$ et de ${f_n}(x)$.
4. Pour $\left| x \right| \prec 1$, déterminer la limite de ${S_n}(x)$ lorsque n tend vers l’infini. Qu’en est-il pour x=1 ?
5. Pour x nombre réel positif ou nul, on pose :
${a_n}(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}{x^k}}}{k}}$
Montrer que l’expression suivante A est une constante (ln désigne le logarithme népérien), dont on donnera la valeur :
$A = {a_n}(x) +$ ${( - 1)^n}\int\limits_0^x {{f_n}(t)dt}$ $- \ln (1 + x)$
6. Comparer ${a_n}(x)$ et $\ln (1 + x)$
7. Calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}(1)$