Epreuve de mathématique Concours ENSM 2013

Exercice 3

Soit ln la fonction logarithme népérien. Soit $a \in \mathbb{R}_ + ^*$
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
$\int\limits_1^a {\ln (x)dx} =$ $a\ln a - a + 1$
$f(x) =$ $a\ln a - a + 1$
2. Dresser le tableau de variation de f sur $\mathbb{R}_ + ^*$
3. Construire la courbe ( C ) de f dans un repère orthonormé.
4. En déduire que pour tout entier naturel k, l’équation $f(a) = k$ a exactement une solution notée ${a_k}$.
5.a. Calculer ${a_0}$ et ${a_1}$
5.b. A l’aide des variations de f, montrer que la suite ${({a_k})_{k \in \mathbb{N}}}$ est croissante.
6. Montrer que $\forall k \in \mathbb{N},$ $\int\limits_{{a_k}}^{{a_{k + 1}}} {\ln (x)dx = 1}$
7. En déduire que :
7.a.$\forall k \in \mathbb{N},$ $({a_{k + 1}} - {a_k})$ $\ln ({a_k}) \le 1 \le$ $({a_{k + 1}} - {a_k})\ln ({a_{k + 1}})$
7.b. $\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {u_k} \to + \infty$